2.1.4. Расчет разбивочных элементов для перенесения проектной линии в натуру

По сути разбивочные работы являются процессом, обратным топографической съемке. При топографической съемке характерные точки ситуации и рельефа переносятся с местности на план; в процессе разбивки, наоборот, запроектированное на топографическом плане сооружение должно быть перенесено на местность.

Разбивку, как очень ответственную работу в строительстве, выполняют в два этапа: сначала определяют положение главных осей, являющихся осями симметрии здания или сооружения, или основных осей, образующих контур здания или сооружения; затем от этих осей осуществляют детальную разбивку дополнительных и вспомогательных осей, конструктивных элементов и др.

Оси зданий и сооружений разбивают на местности от главной разбивочной основы, которой могут быть: существующие местные объекты, пункты плановой геодезической сети или пункты специальной сети (строительная сетка, линии регулирования застройки).

2.1.4.1. Вычисление исходных данных

Для перенесения точек

А и В здания на местность способом полярных координат (рис. 2.9) необходимо найти углы ии расстоянияи. Координаты точекА и В определяют графически, а координаты точки М и дирекционный угол стороны МN берут из ведомости вычисления координат теодолитного хода.

Рис. 2.9. Разбивочный чертеж по перенесению характерных точек здания на местность способом полярных координат

Нахождение расстояния и направления линии по координатам ее начала и конца в геодезии называют решением обратной геодезической задачи.

Вычисление идля перенесения точкиА на местность способом полярных координат производят в определенной последовательности. Находят разности координат точек начала и конца линии

МА:

; . (2.12)

Вычисляют значение румба линии МА по формуле

. (2.13)

Определяют по знакам приращений наименование румба и переходят от него к дирекционному углу линии МА.

Находят величину горизонтального угла

. (2.14)

Вычисляют расстояние по формулам

; (2.15)

. (2.16)

Аналогичным образом можно найти связь точки В с точкой М основы.

2.4.2. Составление разбивочного чертежа

После вычисления исходных данных, определяющих положение здания или сооружения на местности, составляют чертеж в масштабе 1:500, 1:1000 или 1:2000. Основой этого чертежа является топографический план участка местности, где строится объект. На этом чертеже показывают пункты разбивочной основы, запроектированное здание или сооружение, значения длин линий и углов, необходимых для определения на местности точек, принадлежащих главным или основным осям.

Пример 1. Выполнить расчет разбивочных элементов для перенесения в натуру проектной точки А (см. рис. 2.9) при следующих исходных данных:

координаты точки М разбивочной основы: 5031,25 м;4814,37 м;

координаты точки А: 5072,50 м;4843,70 м;

дирекционный угол линии МN разбивочной основы 114°45¢.

Вычисления производятся в следующей последовательности.

1. Находят разности координат точек начала и конца линии МА:

5072,50 — 5031,25 = 41,25 м;

4843,70 — 4814,37 = 29,33 м.

2. Вычисляют величину румба линии МА:

0,71103.

Отсюда находят румб = СВ: 35°25¢ и соответствующий ему дирекционный угол 35°25¢.

3. Находят величину горизонтального угла:

114°45¢-35°25¢ = 79°20¢.

4. Вычисляют расстояние по формулам (2.15) и (2.16):

50,62 м;

50,61 м,

откуда м.

Пример 2. Разбивку углов поворота трассы канала (Уг1, Уг2 и др.), место его примыкания к основному каналу, в точке ПК0, выполняют полярным способом от пунктов 1 и 2 планово-высотного обоснования топографической съемки (рис. 2.10).

Координаты точек планово-высотного обоснования вычислены при выполнении тахеометрической съемки, от них и производится разбивка отдельных участков канала. Для выполнения необходимых расчетов графическим путем от координатной сетки измеряют координаты вершин поворота канала. Результаты приведены в табл. 2.3.

Результаты вычислений приведены в табл. 2.4, где в графах 2–7 представлены координаты точек и приращения координат. В графах 8–10 записаны результаты вычислений тангенсов румбов и румбы направлений, образованных точками планового обоснования, которые закреплены на местности, и углами поворота трассы. Например, тангенс направления линии пункт 2 – ПК0 (см. рис. 2.10) равен

.

Рис.

2.10. Разбивочный чертеж по выносу на местность участка канала

Знаки приращений координат определяют название румбов. По величине и названию румба определяют соответствующий дирекционный угол линии. Горизонтальный угол, который необходимо отложить на местности теодолитом от линии 2 – 1 по направлению 2 – ПК0, вычисляют из разности дирекционных углов этих линий. Если величина дирекционного угла для правой линии окажется меньше, чем для левой, то к ней добавляют 360:

.

Таблица 2.3

составление чертежа недорого в Москве и Московской области

Практически каждое строительство начинается с составления чертежа будущего объекта и проведения разбивочных работ, задачей которых является перенос на местность основных элементов проектной документации.

После установки местоположения точек, выставляются соответствующие метки, указывающие точное место возведения зданий и сооружений. Для обеспечения максимальной точности переноса точек, специалисты строят проектные углы и откладывают расстояния, переносят отметки и уклоны.

Способов проведения разбивочных работ есть немало, выбор зависит от условий местности, типа и габаритов конструкций, точности перенесения точек.

Боковое нивелирование

Применяется для выноса осей в процессе проведения детальной разбивки и при установке конструкций в проектное положение.

Пересечение проектной точки К с конструкцией рассчитывается следующим образом. От точек А и В откладываются равные отрезки l для получения точек А’, В’ и линии А’В’. Над точкой А’ выставляется теодолит и наводится на точку В’. К горизонтальной конструкции прикладывается рейка и перемещается так, чтобы отсчет по ней был равен l. Пятка рейки даст положение точки К. Также определяется и положение точки К’.

Способ полярных координат

Используется при разбивке сооружений с пунктов теодолитных и полигонометрических ходов, если расстояние между исходными и выносимыми точками небольшое.

Положение точки К на местности определяется при откладывании от линии АВ угла β и вдоль линии АК горизонтали d.

Угол β = бА — бAK, где бА, бАК являются дирекционными углами линий АВ и АК соответственно.

Горизонтальное положение d выясняется по формуле 

Проконтролировать правильность положения точки К можно, отложив угол β’ от линии ВА и провести линию d’.

Прямая угловая засечка

Здесь положение К определяется при помощи отложения опорной линии АВ и углов β1 и β2, как на чертеже. Базой для b есть сторона разбивочной сетки либо его значение. Проектные углы β1 и β2 вычисляются путем определения разности дирекционных углов.

Способ линейной засечки

Задействуется для разбивки осей строительных конструкций. При помощи рулетки от точки А откладывается d1, от точки В – d2, место пересечения линий обозначается точкой К, которая и является проектной.

Метод пересечения створов

Используется для выноса в натуру труднодоступных точек проекта, если применение других технологий невозможно. На местности створы Т1Т’1 и Т2Т’2 задаются точками их пересечения с опорными сторонами. Местоположение точек Т1 и Т2 определяется горизонтальными продолжениями d1 и d2 от точки В вдоль опорных линий ВА и ВС, а точек Т’1 и Т’2 – от точки Е вдоль линий EF и ED.

Способ прямоугольных координат

Востребован в случае, если геодезическую основу представляет строительная сетка, вершины которой закреплены на местности. Для выноса проектной точки К по линии AD откладывается отрезок d1, равный УК — УА и по перпендикуляру к AD – отрезок d2, равный Хк — ХА. Для построения отрезков и d2 теодолит выставляется над точкой А, путем перекрещивания нитей зрительной трубы наводится на точку D и от точки А – в створе линии AD, откладывается горизонтальное продолжение d1 для получения точки Р. Далее теодолит устанавливается над точкой Р и откладывается прямой угол APР’. По направлению РР’ от точки Р откладывается горизонталь d2 с выставлением и закреплением точки К.

Разбивочные работы довольно сложные и заказывать их лучше у профессионалов.

Организация «ГеоКомпани» предлагает широкий спектр услуг по геологическим и геодезическим изысканиям. Работаем по Москве и Московской области. Работы выполняются на высоком уровне качества, в сжатые сроки и по выгодным ценам. Консультации предоставляются по телефону +7-495-777-65-35 или WhatsApp..

Gauss Jordan Исключение путем поворота

Gauss Jordan Исключение посредством поворота

Система линейных уравнений может привести к матричной форме. Каждый уравнение становится строкой, и каждый переменная становится столбцом. Ан добавлен дополнительный столбец для Правая сторона. Система показаны линейные уравнения и результирующая матрица.

Система линейных уравнений…

 3x + 2y - 4z = 3
2x + 3y + 3z = 15
5x - 3y + z = 14 

становится расширенной матрицей…

	х	г	г	справа
	3	2	-4	3
	2	3	3	15
	5	-3	1	14

Цель при решении системы уравнений состоит в том, чтобы по возможности привести расширенную матрицу к уменьшенной строчно-эшелонной форме.

Существуют три элементарные операции со строками, которые можно использовать для размещения матрицы в редуцированная рядно-кулисная форма.

Каждое из требований редуцированной ступенчато-строковой матрицы может быть удовлетворено с помощью элементарной строки операции.

• Если есть строка, состоящая только из нулей, то она находится внизу матрицы.
  Поменяйте местами две строки матрицы, чтобы переместить строку со всеми нулями вниз.
• Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
  Умножить (разделить) строку на ненулевую константу, чтобы сделать первый ненулевой элемент в один.
• Ведущий в любом ряду находится справа от ведущего в предыдущем ряду.
  Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку. Суть этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы превратить числа в нули. Делая числа под ведущими в ноль, он заставляет первый ненулевой элемент любой строки быть справа от ведущего предыдущего ряда.
• Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
  Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку. смысл этой элементарной операции со строками состоит в том, чтобы сделать числа равными нулю. Разница здесь что вы очищаете (обнуляете) элементы над ведущим, а не чуть ниже ведущий.

Что такое поворот?

Цель поворота — сделать элемент выше или ниже ведущего в ноль.

«Опорный элемент» или «опорный элемент» — это элемент в левой части матрицы. что вы хотите элементы выше и ниже равны нулю.

Обычно этот элемент равен единице. Если вы можете найти книгу, в которой упоминается поворот, они, как правило, сказать вам, что вы должны развернуться на один. Если ограничиться тремя элементарными рядами операций, то это верное утверждение.

Однако, если вы хотите объединить вторую и третью элементарные операции над строками, вы придумать еще одну операцию над строками (не элементарную, но все же допустимую).

• Вы можете умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к ненулевому кратному другой строку, заменяя эту строку.

И что? Если вам необходимо развернуться на одном, то вы должны иногда использовать второй элементарную операцию со строкой и разделить строку на ведущий элемент, чтобы сделать ее единицей. Деление приводит к дробям. Хотя дроби — ваши друзья, вы с меньшей вероятностью сделаете ошибку если вы их не используете.

В чем подвох? Если вы не будете ориентироваться на единицу, вы, вероятно, столкнетесь с большими числами. Большинство люди готовы работать с большими числами, чтобы избежать дробей.

Сводной процесс

Поворот работает, потому что общее кратное (не обязательно наименьшее) общее кратное) двух чисел всегда можно найти путем умножения два числа вместе. Возьмем пример, который у нас был раньше, и очистить первую колонку.

	х	г	г	справа
	3	2	-4	3
	2	3	3	15
	5	-3	1	14

Полезные советы

• Хотя на один разворот не обязательно, но очень желательно. Поворот на единицу означает, что вы умножаете на 1 (что легко сделать).
• Поворачиваться по главной диагонали приятно, но не обязательно. Некоторым людям нравится начинать с верхнего левого угла и двигаться вниз к Нижний правый.
• Если вы поворачиваете только один раз для строки и столбца, столбцы, которые были очищены, останутся очищенными.
• Поскольку целью поворота является очистка столбца свода, выбор столбец, в котором уже есть нули, экономит время, потому что у вас нет чтобы изменить строку, содержащую ноль.

Выбор оси

• Выберите столбец с наибольшим количеством нулей.
• Использовать строку или столбец только один раз
• Поверните на один, если возможно
• Поворот на главной диагонали
• Никогда не поворачивайте на ноль
• Никогда не поворачивайте на правую сторону

Поскольку в первом ряду никого нет, у нас есть два варианта: Либо мы делим первую строку на три и работаем с дробями, или делаем поворот на три и получить большие числа. Это тот вариант, который я собираюсь использовать. я повернусь на тройке в R ₁ С ₁ . Идите вперед и обведите это как опорный элемент. В зависимости от вашего браузера вы могут видеть элементы поворота, обведенные красным или просто с * перед ним.

	х	г	г	справа
	*3	2	-4	3
	2	3	3	15
	5	-3	1	14

Идея состоит в том, чтобы превратить числа в рамку (желтые) в ноль. Использование комбинированного операция строки (это не элементарная операция), это можно сделать по 3R ₂ — 2R ₁ → R ₂ и 3R ₃ — 5R ₁ → R ₃ .

Единственная неизменяемая строка — это строка, содержащая опорный элемент (элемент 3). Весь смысл процесса поворота состоит в том, чтобы сделать значения в прямоугольниках равными нулю. Перепишите сводную строку и очистите (обнулите) опорную колонку.

	х	г	г	справа
	*3	2	-4	3
	0
	0

Чтобы заменить значения в строке 2, каждый новый элемент получается путем умножения элемент заменяется во второй строке на 3 и вычитается в 2 раза элемент в первом строку из того же столбца, что и заменяемый элемент.

Чтобы выполнить поворот, поместите один палец на шарнир (обведено кружком). номер), и один палец на заменяемом элементе. Перемножьте эти два числа вместе. Теперь поместите один палец на цифре в рамке в той же строке, что и элемент, который вы замена и другого пальца в поворотном ряду и то же самое столбец как номер, который вы заменяете. Умножьте эти два числа вместе. Возьмите изделие с осью и вычесть произведение без опоры.

	х	г	г	справа
	*3	2	-4	3
	2	3	3	15
	5	-3	1	14

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₂ , вы должны взять 3(3) — 2(2) = 9 — 4 = 5.

Чтобы заменить 3 в R ₂ C ₃ , вы должны взять 3(3) — 2(-4) = 9 + 8 = 17.

Чтобы заменить 15 в R ₂ C ₄ , вы должны взять 3(15) — 2(3) = 45 — 6 = 39.

Чтобы заменить -3 в R ₃ C ₂ , вы должны взять 3(-3) — 5(2) = -9 — 10 = -19.

Для замены 1 в R ₃ C ₃ , вы бы взяли 3(1) — 5(-4) = 3 + 20 = 23

Чтобы заменить 14 в R ₃ C ₄ , вы должны взять 3(14) — 5(3) = 42 — 15 = 27.

Вот как выглядит процесс.

	х	г	г	справа
	поворотный ряд, копия 3	поворотный ряд, копия 2	сводная строка, копия -4	поворотный ряд, копия 3
	поворотная колонна, прозрачная 0	3(3) — 2(2) 5	3(3) — 2(-4) 17	3(15) — 2(3) 39
	поворотная колонна, прозрачная 0	3(-3) — 5(2) -19	3(1) — 5(-4) 23	3(14) — 5(3) 27

Или, если убрать комментарии, то матрица после первого пивота выглядит так.

	х	г	г	справа
	3	2	-4	3
	0	5	17	39
	0	-19	23	27

Пришло время повторить весь процесс. Проходим и выбираем другое место для разворота. Мы хотел бы, чтобы это было на главной диагонали, единице или имело нули в столбце. К сожалению, у нас не может быть ни того, ни другого. Но так как мы должны умножить все другие числа по оси, мы хотим, чтобы она была маленькой, поэтому мы будем поворачиваться на 5 в Р ₂ C ₂ и удалите 2 и -19.

	х	г	г	справа
	3	2	-4	3
	0	*5	17	39
	0	-19	23	27

Начните с копирования сводной строки (2-я строка) и очистки сводного столбца (2-я строка). столбец). Ранее очищенные столбцы останутся очищенными.

	х	г	г	справа
		0
	0	*5	17	39
	0	0

Вот расчеты для нахождения следующего взаимодействия. Будьте внимательны в 3-ю строку, где мы вычитаем -19 раз значение. Поскольку мы вычитаем минус, я пошел дальше и написал плюс 19.

	х	г	г	справа
	5(3) — 2(0) 15	поворотная колонна, прозрачная 0	5(-4) — 2(17) -54	5(3) — 2(39) -63
	сводная строка, копия 0	поворотный ряд, копия 5	сводная строка, копия 17	поворотный ряд, копия 39
	ранее очищенный 0	поворотная колонна, прозрачная 0	5(23) + 19(17) 438	5(27) + 19(39) 876

И полученная матрица.

	х	г	г	справа
	15	0	-54	-63
	0	5	17	39
	0	0	438	876

Обратите внимание, что все элементы в первой строке кратны 3, и все элементы в последней строке кратны 438. Мы разделим, чтобы уменьшить количество строк.

	х	г	г	справа
	5	0	-18	-21
	0	5	17	39
	0	0	1	2

Это дало нам дополнительное преимущество: 1 именно там, где мы хотим, чтобы оно было вращаться. Итак, мы вернемся к 1 в R ₃ C ₃ и очистим -18 и 17. Обведите вашу ось и обведите остальные числа рамкой. этот столбец, чтобы очистить.

	х	г	г	справа
	5	0	-18	-21
	0	5	17	39
	0	0	*1	2

Скопируйте вниз сводную строку и очистите сводную колонку. Ранее очищенные столбцы останется очищенным до тех пор, пока вы не выполните поворот в строке или столбце дважды.

	х	г	г	справа
		0	0
	0		0
	0	0	*1	2

Обратите внимание, что с каждым разом нужно выполнять меньше вычислений. Вот расчеты для этой опоры. Опять же, поскольку значение в сводном столбце в первая строка -18 и мы вычитаем, я написал это как + 18.

	х	г	г	справа
	1(5) +18(0) 5	ранее очищено 0	поворотная колонна, прозрачная 0	1(-21) + 18(2) 15
	ранее очищенный 0	1(5) — 17(0) 5	поворотная колонна, прозрачная 0	1(39) — 17(2) 5
	сводная строка, копия 0	сводная строка, копия 0	поворотный ряд, копия 1	сводная строка, копия 2

И полученная матрица.

	х	г	г	справа
	5	0	0	15
	0	5	0	5
	0	0	1	2

Обратите внимание, что первая и вторая строки кратны 5, поэтому мы можем уменьшить их. ряды.

	х	г	г	справа
	1	0	0	3
	0	1	0	1
	0	0	1	2

И окончательный ответ: x = 3, y = 1 и z = 2. Вы также можете записать это как упорядоченная тройка {(3,1,2)}.

Надеюсь, вы заметили, что когда я работал над этим примером, я не следовал подсказкам Я дал. Это потому, что я хотел, чтобы вы увидели, что произойдет, если вы не развернетесь. на одном. Был один, на главной диагонали, в исходной матрице, и было бы лучше начать там.

Резюме

• Тщательно выбирайте поворотный элемент.
• Выбор столбца с нулями означает меньший поворот.
• Выбор единицы в качестве опорной уменьшает числа, упрощает умножение и оставляет ненулевые элементы в очищенном столбце одинаковые (менее поворотные)
• Поворот по главной диагонали означает, что вам не придется переключать ряды, чтобы поместить матрицу в редуцированная рядно-кулисная форма.
• Не поворачиваться на ноль.
• Не поворачиваться на правую сторону.
• Использовать строку или столбец только один раз
• Берем продукт с осью минус продукт без стержня

Специальные чемоданы

Если вы получили строку со всеми нулями, кроме правой части, то система не имеет решения.

Если вы получаете строку из всех нулей, а количество ненулевых строк меньше, чем количество переменных, то система зависима, ответов у вас будет много, и вам нужно написать свой ответ в параметрической форме.

11.3: Исключение Гаусса — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

44312

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx

Работа, которую мы проделали в предыдущем разделе, всегда найдет решение для системы. В этом разделе мы рассмотрим менее громоздкий способ поиска решений. Во-первых, мы представим линейную систему с расширенной матрицей . Матрица — это просто прямоугольный массив чисел. Размер или размерность матрицы определяется как \(m\times n\), где \(m\) — количество строк, а \(n\) — количество столбцов. Чтобы построить расширенную матрицу из линейной системы, мы создаем матрица коэффициентов из коэффициентов переменных в системе, а также константная матрица из констант. Коэффициенты одного уравнения системы составляют одну строку расширенной матрицы.

Например, рассмотрим линейную систему \[\begin{array}{c} x+3y+6z=25 \\ 2x+7y+14z=58 \\ 2y+5z=19 \end{array}\] Эта система можно записать в виде расширенной матрицы следующим образом \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19\end{массив} \right] \]

Обратите внимание, что в ней точно такая же информация, как и в исходной системе. Здесь подразумевается, что первый столбец содержит коэффициенты от \(x\) в каждом уравнении по порядку \(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \ right] . \) Аналогичным образом мы создаем столбец из коэффициентов при \(y\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 7 \\ 2 \end{array} \ right]\) и столбец из коэффициентов при \(z\) в каждом уравнении, \(\left[ \begin{array}{r} 6 \\ 14 \\ 5 \end{array} \right] .\ ) Для системы из более чем трех переменных мы будем продолжать таким же образом строить столбец для каждой переменной. Точно так же для системы менее чем с тремя переменными мы просто строим столбец для каждой переменной.

Наконец, мы строим столбец из констант уравнений, \(\left[ \begin{array}{r} 25\\ 58\\ 19 \end{array} \right] .\)

Строки расширенной матрицы соответствуют уравнениям в системе. Например, верхняя строка расширенной матрицы \(\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 6 & | & 25 \end{array} \right]\) соответствует уравнению \[x +3y+6z=25.\]

Рассмотрим следующее определение.

Определение \(\PageIndex{1}\): расширенная матрица линейной системы

Для линейной системы вида \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\], где \(x_{i}\) — переменные, а \(a_{ ij}\) и \(b_{i}\) являются константами, расширенная матрица этой системы задается как \[\left[ \begin{array}{rrr|r} a_{11} & \cdots & a_{ 1n} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & b_{m} \end{array} \right]\]

Теперь рассмотрим элементарные операции в контексте расширенной матрицы. Элементарные операции в Definition\(\PageIndex{1}\) можно использовать со строками точно так же, как мы использовали их ранее с уравнениями. Изменения в системе уравнений в результате элементарной операции эквивалентны изменениям расширенной матрицы в результате соответствующей операции со строками. Обратите внимание, что из теоремы 11.2.1 следует, что любые элементарные операции со строками, используемые над расширенной матрицей, не изменят решения соответствующей системы уравнений. Теперь формально определим элементарные операции со строками. Это 9Ключевой инструмент 0076 мы будем использовать для поиска решений систем уравнений.

Определение \(\PageIndex{2}\): Элементарные операции со строками

Элементарные операции со строками (также известные как операции со строками ) состоят из следующих

1. Переключение двух строк.
2. Умножить строку на ненулевое число.
3. Заменить строку любым числом, кратным другой добавленной к ней строке.

Вспомните, как мы решали пример 11.2.3. Мы можем сделать те же шаги, что и выше, только теперь в контексте расширенной матрицы и с использованием операций со строками. Расширенная матрица этой системы: \[ \nonumber \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 2 & 7 & 14 & 58 \\ 0 & 2 & 5 & 19\end{array} \right]\] Таким образом, первым шагом в решении этой системы будет умножение на \(\left(-2\right)\) первой строки расширенной матрицы и добавление ее ко второй строке, \[\nonumber\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 5 & 19 \end{array} \right] \] Обратите внимание, как это соответствует этому шагу в  Примере 11.2.3. Затем возьмите \(\left(-2\right)\) раз вторую строку и добавьте к третьей, \[\nonumber\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 3 & 6 & 25 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]\] Эта расширенная матрица соответствует системе \[\nonumber\begin{array}{c} x+3y+6z =25 \\ y+2z=8 \\ z=3 \end{array}\], что аналогично этому шагу в примере 11. 2.3. Путем обратной замены вы получаете решение \(x=1,y=2,\) и \(z=3.\)

С помощью систематической процедуры операций со строками мы можем упростить расширенную матрицу и преобразовать ее в -ступенчатую форму или сокращенную ступенчатую форму , которую мы определим далее. Эти формы используются для нахождения решений системы уравнений, соответствующих расширенной матрице.

В следующих определениях термин ведущая запись относится к первой ненулевой записи строки при сканировании строки слева направо.

Определение \(\PageIndex{3}\): Строка-Эшелон Форма

Расширенная матрица имеет вид строк-ступенчатая форма if

1. Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
2. Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любой строки над ней.
3. Каждая ведущая запись строки равна \(1\).

Мы также рассматриваем другую сокращенную форму расширенной матрицы, которая имеет еще одно условие.

Определение \(\PageIndex{4}\): Сокращенная форма Row-Echelon

Увеличенная матрица представляет собой уменьшенную ступенчато-строковую форму if

1. Все ненулевые строки выше любых строк нулей.
2. Каждая ведущая запись строки находится в столбце справа от ведущих записей любых строк над ней.
3. Каждая ведущая запись строки равна \(1\).
4. Все записи в столбце выше и ниже ведущей записи равны нулю.

Обратите внимание, что первые три условия для сокращенной матрицы формы строки-эшелона такие же, как и для матрицы формы строки-эшелона.

Следовательно, каждая редуцированная матрица формы строки-эшелона также имеет форму строки-эшелона. Обратное не обязательно верно; мы не можем предполагать, что каждая матрица в ступенчато-строчной форме также находится в редуцированной ступенчато-строковой форме. Однако часто бывает, что строчно-ступенчатой ​​формы достаточно, чтобы предоставить информацию о решении системы.

Следующие примеры описывают матрицы в этих различных формах. В качестве упражнения потратьте время на то, чтобы тщательно убедиться, что они находятся в указанной форме.

Пример \(\PageIndex{5}\): не в форме строк-эшелонов

Следующие расширенные матрицы не находятся в форме строк-эшелонов (и, следовательно, также не в сокращенной форме строк-эшелонов).

\[\nonumber\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 4 & 0 & 7 \end{array} \right],\left[ \begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{массив} \right]\]

Пример \(\PageIndex{6}\): Матрицы в форме строк-эшелонов

Следующие расширенные матрицы представлены в форме строк-эшелонов, но не в сокращенной форме строк-эшелонов. \[\nonumber\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 6 & 5 & 8 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{ rrr|r} 1 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\]

Обратите внимание, что мы могли бы применить к этим матрицам дополнительные операции со строками, чтобы привести их к сокращенной ступенчатой ​​форме строк. Потратьте время, чтобы попробовать это самостоятельно. Рассмотрим следующие матрицы в сокращенной ступенчато-строковой форме.

Пример \(\PageIndex{7}\): матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме

Следующие расширенные матрицы представлены в сокращенной ступенчатой ​​форме. \[\nonumber\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right],\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{массив} \right], \left[ \begin{массив}{ rrr|r} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{массив} \right]\]

Одним из способов, которым может быть полезна эшелонированная форма матрицы, является идентификация опорных позиций и опорных столбцов матрицы.

Определение \(\PageIndex{8}\): позиция оси и колонка

Позиция оси в матрице — это расположение ведущего элемента в форме строки-эшелона матрицы.

Опорный столбец — это столбец, который содержит опорную позицию.

Например, рассмотрим следующее.

Пример \(\PageIndex{9}\): Pivot Position

Пусть \[A=\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\] Где находятся опорные позиции и опорные столбцы расширенной матрицы \(A\)?

Решение

Строково-ступенчатая форма этой матрицы имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & \frac{3 }{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\]

Это все, что нам нужно в этом примере, но обратите внимание, что эта матрица не имеет сокращенную ступенчатую форму.

Для того, чтобы идентифицировать опорные позиции в исходной матрице, мы ищем ведущие элементы в ступенчатой ​​форме матрицы. Здесь запись в первой строке и первом столбце, а также запись во второй строке и втором столбце являются ведущими записями. Следовательно, эти местоположения являются опорными позициями. Мы идентифицируем опорные позиции в исходной матрице следующим образом: \[\nonumber\left[ \begin{array}{rrr|r} \fbox{1} & 2 & 3 & 4 \\ 3 & \fbox{ 2} & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 4 & 10 \end{array} \right]\] Таким образом, опорными столбцами в матрице являются первые два столбца.

Ниже приведен алгоритм преобразования матрицы в ступенчато-строчную форму и уменьшенную ступенчато-строковую форму. Вы можете использовать этот алгоритм, чтобы преобразовать приведенную выше матрицу в эшелонированную форму или сокращенную форму эшелона строк самостоятельно для практики.

Алгоритм \(\PageIndex{10}\): Алгоритм сокращенной ступенчатой ​​формы

Этот алгоритм предоставляет метод использования операций со строками для приведения матрицы к сокращенной ступенчатой ​​форме. Начнем с матрицы в ее исходном виде.

1. Начиная слева, найдите первый ненулевой столбец. Это первый опорный столбец, а положение в верхней части этого столбца является первой опорной позицией. При необходимости поменяйте местами ряды, чтобы поместить ненулевое число в первую опорную позицию.
2. Используйте операции со строками, чтобы сделать записи ниже первой позиции сводки (в первом столбце сводки) равными нулю.
3. Игнорируя строку, содержащую первую точку поворота, повторите шаги 1 и 2 с оставшимися строками. Повторяйте процесс до тех пор, пока не останется строк для изменения.
4. Разделите каждую ненулевую строку на значение ведущей записи, чтобы ведущая запись стала \(1\). Тогда матрица будет иметь форму строки-эшелона.

   На следующем шаге матрица будет переведена из ступенчато-строковой формы в уменьшенную ступенчато-строковую форму.

5. Двигаясь справа налево, используйте операции со строками, чтобы создать нули в записях сводных столбцов, которые находятся над позициями сводки. Результатом будет матрица в сокращенной строчно-эшелонной форме.

Чаще всего мы будем применять этот алгоритм к расширенной матрице, чтобы найти решение системы линейных уравнений. Однако мы можем использовать этот алгоритм для вычисления редуцированной ступенчатой ​​формы любой матрицы, которая может быть полезна в других приложениях.

Рассмотрим следующий пример алгоритма сокращенной формы строки-эшелона.

Пример \(\PageIndex{11}\) Нахождение ступенчатой ​​формы матрицы и
сокращенной ступенчатой ​​формы матрицы

Пусть \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 0 & -5 & -4 \\ 1 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\] Найдите строчно-ступенчатая форма \(A\). Затем завершите процесс до тех пор, пока \(A\) не окажется в редуцированной форме строки-эшелона.

Раствор

При работе с этим примером мы будем использовать шаги, описанные в алгоритме сокращенной формы строки-эшелона.

1. Первый опорный столбец — это первый столбец матрицы, так как это первый ненулевой столбец слева. Следовательно, первая точка опоры находится в первой строке и первом столбце. Переключите первые две строки, чтобы получить ненулевую запись в первой позиции поворота, показанной в поле ниже. \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 5 & 10 & 7 \end{array} \right]\]
2. Второй шаг включает в себя создание нулей в записях ниже первой опорной позиции. Первая запись второй строки уже является нулем. Все, что нам нужно сделать, это вычесть в \(5\) раз первую строку из третьей строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 10 & 8 \end{array} \right]\]
3. Теперь игнорируйте верхнюю строку. Примените шаги \(1\) и \(2\) к меньшей матрице \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 10 & 8 \end{array} \right]\] В этой матрице первый столбец является опорным столбцом, а \(-5\) находится в первой опорной позиции. Поэтому нам нужно создать ноль под ним. Для этого прибавьте \(2\) раз первую строку (этой матрицы) ко второй. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rr} -5 & -4\\ 0 & 0 \end{array} \right]\] Наша исходная матрица теперь выглядит как \[\left[ \begin {array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\] Мы видим, что больше нет строк для изменения.
4. Теперь нам нужно создать ведущие \(1\) в каждой строке. В первой строке уже есть начальный символ \(1\), поэтому здесь ничего делать не нужно. Разделите вторую строку на \(-5\), чтобы создать ведущую \(1\). Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\] Теперь эта матрица представлена ​​в виде эшелонированной строки.
5. Теперь создайте нули в записях над опорными позициями в каждом столбце, чтобы привести эту матрицу к сокращенной форме строки-эшелона. Обратите внимание, что в третьем столбце нет точки поворота, поэтому нам не нужно создавать нули в этом столбце! Столбец, в котором нам нужно создать нули, является вторым. Для этого вычтите в \(4\) раза вторую строку из первой строки. Результирующая матрица имеет вид \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & — \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{массив} \right]\]

Эта матрица теперь представлена ​​в сокращенной ступенчато-строковой форме.

Приведенный выше алгоритм дает вам простой способ получить ступенчатую форму матрицы и сокращенную ступенчатую форму матрицы. Основная идея состоит в том, чтобы выполнять операции со строками таким образом, чтобы в итоге получить матрицу в форме строки-эшелона или сокращенной форме строки-эшелона. Этот процесс важен, потому что полученная матрица позволит вам осмысленно описать решения соответствующей линейной системы уравнений.

В следующем примере мы рассмотрим, как решить систему уравнений, используя соответствующую расширенную матрицу.

Пример \(\PageIndex{12}\): Поиск решения системы

Дайте полное решение следующей системе уравнений \[\begin{array}{c} 2x+4y-3z=-1\\ 5x+10y-7z=-2\\ 3x+6y+5z=9 \end{array}\]

Решение

Расширенная матрица для этой системы: \[\left[ \begin{array}{rrr |r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 5 & 10 & -7 & -2 \\ 3 & 6 & 5 & 9 \end{array} \right]\]

Чтобы найти решение к этой системе мы хотим отнести расширенную матрицу к . Мы сделаем это, используя алгоритм сокращенной формы строки-эшелона. Обратите внимание, что первый столбец не равен нулю, так что это наш первый сводной столбец. Первая запись в первой строке, \(2\), является первой ведущей записью и находится в первой позиции поворота. Мы будем использовать операции со строками для создания нулей в записях ниже \(2\). Во-первых, замените вторую строку на \(-5\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на вторую строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 6 & 5 & 9\end{array} \right]\] Теперь замените третью строку на \(-3\), умноженное на первую строку, плюс на \(2\), умноженное на третью строку. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 21 \end{array} \ right]\] Теперь записи в первом столбце ниже точки поворота равны нулю. Теперь мы ищем второй опорный столбец, в данном случае это третий столбец. Здесь \(1\) во второй строке и третьем столбце находится в опорной позиции. Нам нужно выполнить только одну операцию со строкой, чтобы создать ноль ниже \(1\).

Умножение второй строки на \(-1\) и добавление ее к третьей строке дает \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 20 \end{array} \right]\]

Мы могли бы продолжить работу с алгоритмом, чтобы привести эту матрицу к ступенчато-строчной форме или уменьшенной ступенчато-строковой форме. Однако помните, что мы ищем решения системы уравнений. Еще раз взгляните на третью строку матрицы. Обратите внимание, что оно соответствует уравнению \[0x+0y+0z=20\]. У этого уравнения нет решения, потому что для всех \(x,y,z\) левая часть будет равна \(0\) и \ (0\neq 20.\) Это показывает, что данная система уравнений не имеет решения. Другими словами, эта система несовместима.

Ниже приведен еще один пример того, как найти решение системы уравнений путем приведения соответствующей расширенной матрицы к уменьшенной ступенчато-строковой форме.

Пример \(\PageIndex{13}\): бесконечное множество решений

Дайте полное решение системы уравнений \[\begin{array}{c} 3x-y-5z=9 \\ y-10z =0 \\ -2x+y=-6 \end{array}\]

Решение

Расширенная матрица этой системы равна \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & — 1 и -5 и 9\\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & -6 \end{array} \right]\] Чтобы найти решение этой системы, мы перенесем увеличенную матрицу в сокращенную строку -эшелонная форма с использованием алгоритма уменьшенной строки-эшелонной формы. Первый столбец является первым сводным столбцом. Мы хотим использовать операции со строками для создания нулей под первой записью в этом столбце, которая находится в первой позиции поворота. Замените третью строку на \(2\), умноженное на первую строку, на \(3\), умноженную на третью строку. Это дает

\[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \end{array } \right]\]

Теперь мы создали нули под \(3\) в первом столбце, поэтому переходим ко второму сводному столбцу (который является вторым столбцом) и повторяем процедуру. Возьмите \(-1\) раз вторую строку и прибавьте к третьей строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -1 & -5 & 9 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]\] Запись под точкой поворота во втором столбце теперь равна нулю. Обратите внимание, что у нас больше нет сводных столбцов, потому что у нас есть только две ведущие записи.

На этом этапе мы также хотим, чтобы ведущие записи были равны единице. Для этого разделите первую строку на \(3\). \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & — \frac{1}{3} & — \frac{5}{3} & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\]

Эта матрица теперь имеет форму строки-эшелона.

Продолжим операции со строками до тех пор, пока матрица не примет форму редуцированной строки-эшелона. Это включает в себя создание нулей над опорными позициями в каждом опорном столбце. Для этого требуется только один шаг, который состоит в том, чтобы добавить \(\frac{1}{3}\) раз вторую строку к первой строке. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]

Это в сокращенной форме строки-эшелона, которую вы должны проверить, используя Определение 11.3.4. Уравнения, соответствующие этой сокращенной форме строки-эшелона, имеют вид \[\begin{array}{c} x — 5z=3 \\ y — 10z = 0 \end{array}\] или \[\begin{array}{c } x=3+5z \\ y = 10z \end{array}\]

Обратите внимание, что \(z\) не ограничивается никаким уравнением. На самом деле \(z\) может равняться любому числу. Например, мы можем положить \(z = t\), где мы можем выбрать \(t\) в качестве любого числа. В этом контексте \(t\) называется параметром . Следовательно, набор решений этой системы равен \[\begin{array}{c} x=3+5t \\ y=10t \\ z=t \end{array}\], где \(t\) произвольно. Система имеет бесконечное множество решений, которые задаются этими уравнениями. Для любого значения \(t\), которое мы выбираем, \(x, y,\) и \(z\) будут заданы приведенными выше уравнениями. Например, если мы выберем \(t=4\), то соответствующее решение будет \[\begin{array}{c} x = 3 + 5 (4) = 23\\ y = 10(4)=40 \ \ г = 4 \ конец {массив} \]

В предыдущем примере решение включало один параметр. Может случиться так, что решение системы включает более одного параметра, как показано в следующем примере.

Пример \(\PageIndex{1}\): набор решений с двумя параметрами

Найдите решение системы \[\begin{array}{c} x+2y-z+w=3 \\ x+y -z+w=1 \\ x+3y-z+w=5 \end{array}\]

Решение

Расширенная матрица: \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 & 5 \end{array} \right]\] Мы хотим нести эту матрицу к рядно-кулисной форме. Здесь мы опишем используемые операции со строками. Однако убедитесь, что вы понимаете шаги с точки зрения алгоритма сокращенной формы строки-эшелона.

Умножьте \(-1\) на первую строку и прибавьте ко второй. Затем возьмите \(-1\) раз первую строку и прибавьте к третьей. Это дает \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right]\]

Теперь добавьте вторую строку к третьей строке и разделите вторую строку на \(-1\). \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{ массив} \right] \label{twoparameters1}\]

Эта матрица имеет форму эшелона строк, и мы можем видеть, что \(x\) и \(y\) соответствуют опорным столбцам, а \(z\) и \(w\) — нет. Поэтому мы назначим параметры переменным \(z\) и \(w\). Присвойте параметру \(s\) значение \(z\), а параметр \(t\) — значению \(w.\). Тогда первая строка дает уравнение \(x+2y-s+t=3\), а вторая строка дает уравнение \(y=2\). Поскольку \(y=2\), первое уравнение становится \(x+4-s+t=3\), показывая, что решение дается \[\begin{array}{c} x=-1+s-t \ \ y=2 \\ z=s \\ w=t \end{array}\] Это решение принято записывать в виде \[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -1+s-t \\ 2 \\ s \\ t \end{array} \right] \label{twoparameters2} \]

В этом примере показана система уравнений с бесконечным множеством решений, зависящим от двух параметров. Это может быть менее запутанным в случае набора бесконечных решений, чтобы сначала поместить расширенную матрицу в сокращенную форму строки-эшелона, а не просто в форму строки-эшелона, прежде чем пытаться записать описание решения.

В приведенных выше шагах это означает, что мы не останавливаемся на форме строки-эшелона в уравнении \ref{twoparameters1}. Вместо этого мы сначала поместим его в сокращенную форму строки-эшелона следующим образом. \[\left[ \begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {массив} \right]\] Тогда решение равно \(y=2\) из второй строки и \(x=-1+z-w\) из первой. Таким образом, если \(z=s\) и \(w=t,\), решение задается \ref{twoparameters2}.

Здесь вы можете видеть, что есть два пути к правильному ответу, оба из которых дают один и тот же ответ. Следовательно, можно использовать любой подход. Процесс, который мы впервые использовали в приведенном выше решении, называется Исключение по Гауссу .