Объекты:
Карта домов
Строящиеся
Построенные
Скоро в продаже

 

Проектная работа по геометрии по теме : "Площади многоугольников". Проект площади


Проект по математике на тему : "Площади фигур"

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение –

средняя общеобразовательная школа с. Упоровка

Проект по математике

Тема: Площади фигур

Выполнила:

Дёмкина Надёжда Михайловна,

учитель математики

2014

Содержание проекта:

1.Условия возникновения проекта

2.Прогнозируемые результаты

3.Описание проекта

4.Результативность проекта

5. Используемая литература

2

Проект по теме : Площади фигур

Автор проекта: учитель математики муниципального казённого общеобразовательного учреждения - средней общеобразовательной школ с. Упоровка Екатериновского района Саратовской области Дёмкина Надежда Михайловна

Участники проекта : учащиеся 9 класса

1.Условия возникновения проекта : проблема , которая встаёт ежегодно перед администрацией школы – это подсчет финансовых затрат, необходимых для покупки краски на ремонт школы в летний период. Сложность заключается и в том ,что поверхности некоторых частей здания школы имеют не только прямоугольную форму.

Дидактические цели проекта:

1. Расширить знания учащихся о площадях геометрических фигур : треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях.

2.Применить умение находить площади фигур на практике, а именно : для подсчета общей площади поверхностей плоских фигур.

3.Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

4.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

5. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются :

- формирование у учащихся понятия площади многоугольников;

  • развитие исследовательских навыков;

  • развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;

  • формирование навыков проектной работы.

2.Прогнозируемые результаты

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

  • знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

3

  • продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

  • знать сведения вычисления площадей в древности;

  • получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

  • самостоятельно работать с дополнительной литературой и Интернет ресурсами.

Гипотеза

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников : квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий. Изучение площадей плоских фигур вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции и их площадей, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

Рабочие этапы и вопросы для исследования

I этап . Исследование площадей многоугольников. Исторические справки.

II этап . Получение информации о нахождении площадей в древности.

III этап . Нахождение материала о применении площадей в архитектуре и строительстве.

IV этап. Применение полученных знаний на практике.

Отчётные материалы :

1.Создание презентации .

2.Подготовка сообщений.

3.Практическое применение знаний.

3.Описание проекта.

Проект посвящён практическому применению знаний по теме «Площади фигур», знанию формул площадей следующих геометрических фигур : треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции с последующим применением этих знаний для решения поставленной задачи. При подготовке проекта работа велась коллективно и поэтапно. Обучающиеся ,

4

выполняя каждый раздел , пользовались следующими ресурсами : Интернет , библиотека , дополнительный материал, предоставленный на консультации учителем.

Во время отчетов обучющихся учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работы на каждом этапе.

I. Площади плоских многоугольников – результат (Интернет):

 

 

5

Произвольный треугольник.  a, b, c – стороны;  a – основание;  h – высота; 

A, B, C – углы, противоположные сторонам  a, b, c ;    p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Однако данные определения существовали не всегда. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит в глубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить). Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача - измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат, сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры.

II этап . Получение информации о нахождении площадей в древности-результат.

Египет.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки

7

обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Греция.

Около 600 года до н.э. греки , совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был древнегреческий ученый Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.Он первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Всё вышеизложенное говорит о том, что площади многоугольников интересны и с исторической , и с математической точек зрения, а также представляют интерес и в повседневной жизни.

III этап . Нахождение материала о применении площадей в архитектуре и строительстве – результат :

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

Словами выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье сказано всё :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

8

Рис.

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных

9

организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных

мастерских. Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола, стен, крыши и других элементов.

IV этап. Применение полученных знаний на практике – результат

Выполнение данного проекта позволило решить следующие практические вопросы:

  1. Общая площадь ,подлежащая ремонту , была подсчитана. Объединённые общей идеей , к работе подключились учащиеся других классов. Они помогали делать измерительные работы , выполнять чертежи.

  2. Ребята научились применять формулы площадей геометрических фигур, решать практические задачи , используя современные ИКТ – технологии.

  3. Значимость этого проекта определяется возможностью использования данного материала на уроках геометрии для расширения геометрического кругозора учащихся.

4.Результативность проекта

ВЫВОД : Работа над проектом была коллективной и увлекательной. Каждый из учасников получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, архитектуры и строительства. Все приобретённые знания помогут стать им более образованными и интересными людьми. В ходе работы был дан ответ на основополагающий вопрос: - Как измерить всё вокруг?

На проблемные вопросы: - Как математика помогает нам в повседневной жизни? Какова её роль в ремонте школы?

На учебные вопросы: - Как вычисляются площади плоских фигур? В каких единицах измеряется площадь? Можно ли вычислить площади разбиением на части?

Работа над проектами должна продолжаться, ведь в математике есть много интересных вопросов и загадок. Пусть сложность данных работ растёт вмести с ребятами.

10

Используемая литература.

1. «Геометрия 7 - 9 класс». Авторы –Л.С. Атанасян и др.

2. «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко.

3. «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко.

4. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова

5. «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман.

6. «История математики в школе.VII- VIII классы».Автор- Г.И. Глейзер.

7. «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров , И.П. Ярандай.

11

www.metod-kopilka.ru

Проект «Площади многоугольников» - Документ

Проект « Площади многоугольников»

Автор проекта: учитель математики Верхнеиндырчинской основной школы Апастовского муниципального района Республики Татарстан Курмашева А.А.

Участники проекта : учащиеся 8 класса

Дидактические цели проекта:

1.Расширить знания учащихся о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

2.Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

3.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются

  • формирование у учащихся понятия площади многоугольников;

  • развитие исследовательских навыков;

  • развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;

  • формирование навыков проектной работы.

Прогнозируемые результаты

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

  • знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

  • продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

  • знать сведения вычисления площадей в древности;

  • получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

  • самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Гипотеза

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников : квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий. Изучение площадей плоских фигур вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции и их площадей, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

Рабочие группы и вопросы для исследования

Группа «Исследователи свойств многоугольников»

  1. Изучить свойства треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции.

  2. Найти определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, которые были сформулированы древними учёными.

  3. Сравнить современные трактовки с древними.

Группа «Исследователи площадей многоугольников»

Изучить доказательства площадей треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции

Группа «Историки»

Найти информацию о нахождении площадей древними учёными.

Группа « Практики»

1. Найти материал, подтверждающий применение площадей в архитектуре и строительстве.

2.Найти материал, подтверждающий применение площадей в географии.

Во время отчетов рабочих групп учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работе каждой группы.

Отчётные материалы

1.Создание презентации (слайды, рисунки)

2. Подготовка сообщений.

Описание проекта.

Проект посвящён свойствам и площадям треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции. В проекте участвовало 4 рабочих групп:

- Историки

- Практики

Первая группа исследователей свойств многоугольников изучала определения и свойства треугольника, квадрата, прямоугольника и выяснила следующее:

В учебнике « Геометрия 7-11» , автор Погорелов А.В.дано определение треугольника «Треугольником называется фигура , которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки». Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

 

Замечательные линии и точки в треугольнике.

 

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

 

 

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему.

Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

 

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой  ( BE,  ).

 

Свойства параллелограмма.

 

1.  Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ).

 

2.  Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D ).

 

3.  Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам  ( AO = OC, BO = OD ).

 

4.  Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:

                               AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .

 

Признаки параллелограмма.

 

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

 

 1.  Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ).

   

 2.  Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).

   

 3.  Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ).

 

 4.  Диагонали делятся в точке их пересечения пополам  ( AO = OC, BO = OD ).

 

Прямоугольник.

 

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые . Такой параллелограмм называется прямоугольником  ( рис.33 ) .

 

 

Основные свойства прямоугольника.

 

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

 

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

 

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):

 

AC 2  = AD 2 + DC 2  .

 

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом .

 

 

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).

 

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно;  поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

 

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны .

 

 

Здесь AD || BC.  Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E  и  F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им:  EF || AD  и  EF || BC.

 

Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Группа исследователей площадей плоских фигур выяснила

 

 

Произвольный треугольник.  a, b, c – стороны;  a – основание;  h – высота; 

A, B, C – углы, противоположные сторонам  a, b, c ;    p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Однако данные определения существовали не всегда. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить). Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача - измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат, сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры.

Египет.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения

нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Греция.

Около 600 года до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.

Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного

рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Группа историков разыскала

Задачи царицы Дидоны

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами “на экстремум” (от лат. слова extremum – “крайний”) или задачами “на максимум и минимум” (от латинских maximum и minimum –соответственно “наибольшее” и “наименьшее”). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: “Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?”. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге “Начал” Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна , а площадь квадрата и , если . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что:

1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.

Изопериметрические задачи известны также под названием “задачи Дидоны” по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу морю, то на языке математике задачу, стоящую перед Дидоной можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей.

Группа историков обнаружила головоломки « Танграм»

История головоломки "Танграм"

Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

Рисунки, составленные из частей танграма

Рисунки, составленные из частей Колумбова яйца

4. Головоломка Наполеона

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще?

Но прежде чем браться за решение головоломки, обратите внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?

Всё вышеизложенное говорит о том, площади многоугольников интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни.

Группа «практиков» выяснила следующее.

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

Уместно будет высказывание выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

Рис.

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных — раскрой пиломатериалов, на фуговальных — строгание, на долбежных и шипорезных — выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок.

Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола , стены , крыши.

Группа практиков выяснила следующее, что в геодезии- науке об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет также применяются знания геометрии . Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теорией потенциала, математической статистикой и вычислительной математикой. В то же время это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов.

Геодезические работы ведутся на трех уровнях. Во-первых, это плановая съемка на местности – определение положения точек на земной поверхности относительно местных опорных пунктов для составления топографических карт, используемых, например, при строительстве плотин и дорог или составлении земельного кадастра. Следующий уровень включает проведение съемок в масштабах всей страны; при этом площадь и форма поверхности определяются по отношению к глобальной опорной сети с учетом кривизны земной поверхности.

ВЫВОД.

Во время подготовки к проекту каждой группе пришлось выполнять свою работу . Каждый из них получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, геодезии, архитектуры. Все приобретённые знания помогут стать более образованными и интересными людьми.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

6. Используемая литература.

1. «Геометрия 7 - 9 класс». Авторы –Л.С. Атанасян и др.

2. «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко.

3. «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко.

4. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова

5. «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман.

6. «История математики в школе.VII- VIII классы».Автор- Г.И. Глейзер.

7. «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров , И.П. Ярандай.

8. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров и др.

Этапы, описание выполняемых работ.

Сроки

Этапы

Деятельность учащихся

Деятельность учителя

18.11.2006-22.11.2006

I. Организационно - подготовительный

Обсуждение темы проекта, его целей и задач; разработка плана реализации идеи; распределение тем исследований между учащимися

Представление проблемной ситуации с помощью мультимедийных средств; формирование мотивации участников, создание инициативной группы учащихся, консультирование по выбору тематики и жанра проекта; помощь в подборке необходимых материалов, определение лишь общего направления и главных ориентиров поиска; определение критериев оценки деятельности учащихся на всех этапах

23.11.2006-7.12.2006

II.Поисковый

Сбор, анализ и систематизация необходимой информации; обсуждение ее в микрогруппах; выдвижение и проверка гипотез; оформление макета или модели проекта; самоконтроль

Регулярное консультирование по содержанию проекта, помощь в систематизации и обобщении материалов, индивидуальные и групповые консультации по правилам оформления проекта, стимулирование умственной активности учащихся, отслеживание деятельности каждого участника, оценка промежуточных результатов, мониторинг совместной деятельности

8.12.2006-18.12.2006

III. Итоговый

Оформление пакета документов по проекту и информационных стендов, схем, диаграмм; подготовка устной презентации и защита содержания проекта; рефлексия: выдвижение, прогнозирование новых проблем, вытекающих из полученных результатов

Помощь в разработке отчёта о работе, подготовка выступающих к устной защите, отработка умения отвечать на вопросы оппонентов и слушателей, выступление в качестве эксперта на защите проекта, участие в анализе проделанной работы, оценка вклада каждого из исполнителей

Схема организации работы по проекту. Этапы реализации.

I.  Подготовительный - «Мозговой штурм».

Подготовительный этап:

Представление проблемной ситуации с помощью мультимедийных средств.

Распределение по группам.

Выбор темы исследования учащимися.

Выбор творческого названия проекта.

Основной этап:

Выбор творческого названия проекта.

Разработка целей и задач.

Обсуждение с учащимися возможных источников информации, критериев оценки результата исследования.

Обсуждение предстоящих исследований

Заключительный этап:

Обсуждение индивидуальных планов работы учащихся.

Обсуждение необходимого оборудования.

II. Основной - «Консультация в группах».

Подготовительный этап:

Сбор, анализ и систематизация необходимой информации.

Советы педагога по усовершенствованию работы.

Консультации по сбору и обработки материала.

Основной этап:

Разрешение проблем, возникших в ходе самостоятельной работы.

Выдвижение и проверка гипотез.

Оценка промежуточных результатов.

Мониторинг совместной деятельности.

Заключительный этап:

Оформление макета или модели проекта.

III.Заключительный - «Конференция».

Подготовительный этап.

Подготовка оборудования к показу работ.

Подготовка сценария проведения дискуссии.

Подготовка устной презентации и защита содержания проекта.

Основной этап:

Демонстрация творческих разработок учащихся по группам.

Защита содержания проекта.

Обсуждение, оценка актуальности.

Заключительный этап:

Оценка результатов деятельности учащимися, одноклассниками, учителем.

рефлексия: выдвижение, прогнозирование новых проблем, вытекающих из полученных результатов.

ГОУ гимназия № 1567

Автор проекта: Купраш Анна Дмитриевна

Руководитель проекта:

учитель математики

Такуш Елена Валентиновна

Тема: «Площади многоугольников».

Цель проекта: Изучение площадей фигур. используя идею равновеликости.

Задачи:

  • Проанализировать литературу и обобщить информацию по данной теме.

  • Найти нетрадиционные доказательства теорем о площадях треугольников.

  • Применить теорию равновеликости фигур для решения задач.

Работа состоит из трех частей.

В первой части работы были выведены формулы площадей некоторых многоугольников, при этом были использованы только идея равновеликости фигур и основные свойства площадей:

1) Равные многоугольники имеют равные площади;

2) Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей).

Во второй части работы были решены задачи о площадях с использованием тех же свойств площадей.

В третьей части работы были исследованы положения прямых, разбивающих фигуры на две равновеликие части.

В работе были рассмотрены такие задачи, как:

  • На стороне параллелограмма была взята точка, была рассмотрена зависимость площади получившегося треугольника от площади параллелограмма. Также была решена аналогичная задача для точки, лежащей внутри параллелограмма;

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала на уроках геометрии для расширения геометрического кругозора учащихся.

refdb.ru

Проектная работа по геометрии по теме : "Площади многоугольников"

Проектная работа по теме: « Площади многоугольников»

Участники проекта: учащиеся 9 класса Быкова Виктория и Ляшкова Мария

Руководитель проекта : учитель математики Вельбой Анна Николаевна

Дидактические цели проекта:

1.Расширить знания учащихся о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

2.Развить творческую активность учащихся, научить делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

3.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются

  • формирование у учащихся понятия площади многоугольников;

  • развитие исследовательских навыков;

  • развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;

  • формирование навыков проектной работы.

Прогнозируемые результаты

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

  • знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

  • продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

  • знать сведения вычисления площадей в древности;

  • получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

  • самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Гипотеза

Гипотеза нашего проекта очень проста. В 8 классе мы познакомились с четырёхугольниками и узнали о них много интересного. В этом году, когда мы начали изучать пощади многоугольников, то само определение площади нам было не очень понятным. Нас заинтересовал этот вопрос, ведь геометрия- наука древняя, это наука, которая изучает свойства геометрических фигур. Слово «геометрия»- в переводе с греческого означает «землемерие». Возник вопрос о времени образования понятия «площадь», о её применении. Мы решили более подробно узнать об этом. У нас организовались три группы, которые получили определённое задание.

Рабочие группы и вопросы для исследования

Группа «Историки»

Найти информацию о нахождении площадей древними учёными

Группа «Исследователи площадей многоугольников»

Изучить доказательства площадей треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции

Группа « Практики»

1. Найти материал, подтверждающий применение площадей в архитектуре и строительстве.

2.Найти материал, подтверждающий применение площадей в географии.

Во время отчетов рабочих групп учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работе каждой группы.

Отчётные материалы

1.Создание презентации (слайды, рисунки)

2. Подготовка сообщений.

Описание проекта.

Проект посвящён площадям треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции. В проекте участвовало 3 рабочих группы:

- Историки

- Исследователи площадей многоугольников

- Практики

. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить).

Первой страной, с которой встретились «историки» был

Египет.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения

нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Греция- это вторая страна где побывали наши «историки»

Около 600 года до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.

Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного

рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Группа историков разыскала

Задачи царицы Дидоны

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами “на экстремум” (от лат. слова extremum – “крайний”) или задачами “на максимум и минимум” (от латинских maximum и minimum –соответственно “наибольшее” и “наименьшее”). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: “Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?”. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге “Начал” Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна hello_html_62132d2c.png , а площадь квадрата hello_html_4d32b06.pngи hello_html_m70b5a51.png, если hello_html_m35952c83.png . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что:

1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.

Изопериметрические задачи известны также под названием “задачи Дидоны” по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу морю, то на языке математике задачу, стоящую перед Дидоной можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей.

Группа историков обнаружила головоломки « Танграм»

История головоломки "Танграм"

Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

Рисунки, составленные из частей танграма

hello_html_5a636ff9.jpghello_html_m67402774.jpg

4. Головоломка Наполеона

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще?

hello_html_57ac0de2.jpg

Нhello_html_6fc35e74.jpgо прежде чем браться за решение головоломки, обратите внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?

Всё вышеизложенное говорит о том, площади многоугольников интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни.

Группа исследователей площадей плоских фигур выяснила

hello_html_m4b103379.png

hello_html_5d4a2c92.png

hello_html_m3981cb48.pnghello_html_69e9179f.png

Произвольный треугольник.  a, b, c – стороны;  a – основание;  h – высота; 

A, B, C – углы, противоположные сторонам  a, b, c ;    p = ( a + b + c ) / 2.

hello_html_m7e120539.png

Последнее выражение называется формулой Герона.

Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача - измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат, сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры.

Группа практиков поработала отлично! По этому поводу хочется обратиться к высказыванию выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

hello_html_m337a9c00.png

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

hello_html_587ab212.jpg

Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных — раскрой пиломатериалов, на фуговальных — строгание, на долбежных и шипорезных — выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок.

Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола , стены , крыши.

Группа «практиков» сделала вывод:

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

Группа практиков выяснила следующее, что в геодезии - науке об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет также применяются знания геометрии . Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теорией потенциала, математической статистикой и вычислительной математикой. В то же время это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов.

Геодезические работы ведутся на трех уровнях. Во-первых, это плановая съемка на местности – определение положения точек на земной поверхности относительно местных опорных пунктов для составления топографических карт, используемых, например, при строительстве плотин и дорог или составлении земельного кадастра. Следующий уровень включает проведение съемок в масштабах всей страны; при этом площадь и форма поверхности определяются по отношению к глобальной опорной сети с учетом кривизны земной поверхности.

Группа практиков также выяснила , что без знания понятия площадь невозможно обойтись в сельском хозяйстве, в машиностроении, а также в повседневной жизни, например, при ремонте дома, когда приходится рассчитывать, сколько строительного материала необходимо для ремонта той или иной площади дома, квартиры.

Немного истории об оригами

  • Оригами- древнейшее искусство складывание из бумаги различных объемных фигурок.

  • Возникло 2000 лет тому назад в Китае.

  • В 7 веке оригами было известно в Японии.

hello_html_672992f9.jpghello_html_m20a87394.png

Самоделки из бумаги

hello_html_7adc8a30.jpg

ВЫВОД.

Во время подготовки к проекту каждой группе пришлось выполнять свою работу . Каждый из них получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, геодезии, архитектуры. Все приобретённые знания помогут стать более образованными и интересными людьми.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

6. Используемая литература.

1. «Геометрия 7 - 9 класс». Авторы – А. В. Погорелов

2. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецов

3. «История математики в школе.VII- VIII классы». Автор- Г.И. Глейзер.

4. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров и др.

5.Интернет ресурсы.

6.Развивающие задачи по геометрии 8-9 классы-Н.М. Карпушина

infourok.ru

Научный проект на тему: Нахождение площади решётчатого многоугольника

Научный проект на тему:

  • Нахождение площади решётчатого многоугольника.

  • Выполнили: Ишмурзина Зухра,

  • Аминев Рафис

  • 10 класс МОБУ СОШ№1 г. Баймака

  • Среди заданий ЕГЭ по математике есть задачи на нахождение площадей фигур, в частности, площадей решетчатых многоугольников:

  • ( задания В6 – ЕГЭ 2010,2011 годов,

  • В3 – ЕГЭ 2012 года)

Вычислить площади фигур, считая сторону клетки равной 1см

  • Вычислить площади фигур, считая сторону клетки равной 1см

Цель исследования.

  • Выяснить, что такое решетчатый многоугольник.

  • Найти способы нахождения площадей таких многоугольников, научиться выбирать рациональный способ решения в конкретных случаях.

изучение и анализ информации по указанной теме в литературе и Интернет-источниках;

  • изучение и анализ информации по указанной теме в литературе и Интернет-источниках;

  • поиск способов нахождения площадей решетчатых многоугольников;

  • решение заданий из открытого банка заданий ЕГЭ - показ практического применения результатов исследования.

Объект исследования: решетчатые многоугольники.

  • Объект исследования: решетчатые многоугольники.

  • Предмет исследования: изучение способов нахождения площадей.

Определение

  • Многоугольник — фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

  • Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами или на узлах решетки ( клетки)

« Нахождение площади многоугольника с помощью формулы Пика»

  • Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, т. е. имеют целочисленные координаты. Существует формула, позволявшая найти его площадь путём подсчёта числа содержащихся в нём узлов.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

  • Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах. Можно показать, что площади всех этих треугольников одинаковы и равны 1/2, а, следовательно, площадь многоугольника равна половине их числа Т.

Треугольники, которые не имеют внутренних узлов, называются простыми.Площадь простого треугольника равна ½

  • Треугольники, которые не имеют внутренних узлов, называются простыми.Площадь простого треугольника равна ½

  • Чтобы найти это число-количество треугольников, обозначим через п число сторон многоугольника, через В — число узлов внутри его и через Г — число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна πТ. Теперь найдём эту сумму другим способом.

  • Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2π, т. е. общая сумма таких углов равна 2Вπ; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г – n)π, а сумма углов при вершинах многоугольника — (п – 2) π. Таким образом,

  • πТ = 2Вπ + (Г – n) π + (n – 2)π, T=2B+Г-n+n-2 T=2B+Г-2

  • Так как S=½ получаем выражение для площади S многоугольника: S=½T=B+Г/2-1

  • S=B+Г/2-1

  • известное как формула Пика.

  • Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Например, на рисунке Г = 9, В = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.

  • Например, на рисунке Г = 9, В = 24, а следовательно, площадь многоугольника равна 27,5.

Проверка выполнения формулы Пика

  • Единичный квадрат.

  • В самом деле, для него S=1, так как ,

  • В=0 , Г=4 и формула верна.

Произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через а и b длины сторон прямоугольника.

  • Произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через а и b длины сторон прямоугольника.

  • Тогда находим: В=(а-1)(в-1), Г=2(а+в)

  • Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

  • Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через c число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения c.

Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

  • Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

  • Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда следует, что она верна для любого многоугольника.

Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

  • Найдите площадь параллелограмма ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Вычислить площади фигур Вз

  • Н. Б. Васильев. Вокруг формулы Пика // Квант. 1974. № 12. С. 39-43. Журнал "Квант"  http://hijos.ru/

  • http://www.etudes.ru/ru/forums/topic.php?id=3919

  • http://www.etudes.ru/ru/mov/mov045/( этюды)

  • http://www.e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem MAXimal

rpp.nashaucheba.ru

Проект реконструкции площади изменен: grishin

Проект реконструкции площади у ЦДК им. Калинина было решено изменить. Во-первых, отказались от "кривой площади", чему я очень рад. Во-вторых, детские площадки будут заграничные, не пластиковое убогое вырвиглазное убожество, а нормальные детские площадки. В-третьих, решено сохранить детский городок в парке, но лишив его основного функционального назначения – горок. Администрация ссылается на СНИПы, на ответственность, если кто-то расшибется. Но давайте по порядку.

Алёна Маслова – руководитель пресс-службы Администрации Королёва сообщает (курсивом отмечены сомнительные, на мой взгляд, идеи):

Жителям представили измененный проект и ответили на вопросы, которые задавались чаще всего. 1. Организация парковочного пространства. Вблизи пешеходной зоны планируется организация двух парковок: у хоровой школы (не затрагивая сквера Терешковой) и у входа в парк. Кроме того, возможность оставлять автомобили в вечернее время на площади останется для посетителей мероприятий в ЦДК. Въезд на площадь будет осуществляться с улицы Терешковой. 2. Разный уровень покрытия площади. По предложению горожан эта деталь из проекта исключена. (УРА!) 3. В центре площади высадки деревьев не будет, озеленение запланировано на аллее, которая ведет к центральному входу в ЦДК. 4. Мозаичное панно, расположенное напротив Дворца культуры будет восстановлено, оборудовано новой системой освещения, дополнительными художественно-архитектурными формами. 5. Обязательно на всей территории пешеходной зоны будет установлено видеонаблюдение.

В проекте остаётся:

1. Площадка для катания на роликах и скейтбордах (со стороны мозаичного панно). 2. Зона для прогулок и спокойного отдыха с озеленением, скамейками, павильонами для защиты от солнца и дождя (аллея, которая ведет к центральному входу в ЦДК; Сквер покорителей космоса). 3. Детские площадки, качели для горожан всех возрастов (за Сквером покорителей космоса). 4. Новая система освещения.

Дальнейшая реконструкция центрального парка, будет вестись постепенно до конца 2020 года. Здесь проектом предусмотрено следующее:

1. Летний кинотеатр 2. Многофункциональный центр для самых разных мероприятий на месте старой танцевальной площадки, которую удалось вернуть в муниципальную собственность. 3. Зона для игр: настольный теннис, шашки и шахматы 4. Веревочный городок 5. Детские площадки 6. Парк аттракционов 7. Библиотека под открытым небом 8. Зона отдыха с wi-fi 9. Зона для спокойного и тихого отдыха 10. Аллеи с арками из зелени для прогулок 11. Арка новобрачных в форме сердца

Большой резонанс вызвала судьба детского города-замка на территории парка. С тем, что оставлять городок в существующем виде невозможно, так как это опасно для детей, согласились все. На Совете предложили вариант, которых устроил и тех, кто просил снести замок и тех, кто вставал на его защиту как исторического символа парка. Вариант предусматривает реставрацию башенок, которые будут соединяться между собой деревянными переходами. Горок в замке не будет из соображений безопасности, но новые качели, горки и карусели появятся вокруг.

Меня смущают крылья и зеркальная стена за панно. Не будь их – было бы прекрасно.

Всё самое свежее я теперь публикую в Группе Вконтакте. Подписывайтесь!

А чтобы не пропускать посты, подписывайтесь на Дайджест новостей! Это почтовая рассылка самых интересных новостей и статей за последнее время, связанных с городом.

И не забывайте про Твиттер, Фейсбук и Ютюб…

… и ещё сайт о Генплане Королёва и о Правилах землепользования и застройки!

grishin.livejournal.com

Проект «Городские площади»: Сиэтл

Проект «Городские площади» - это рассчитанная на год, основанная на добровольных началах программа, в которой дизайнеры компании Gensler пытаются раскрыть и переосмыслить использование неожиданно появившихся по всему миру открытых пространств в городах. В этот концептуальный проект были приглашены к участию все 43 представительства компании Gensler. Перед дизайнерами была поставлена задача выбрать свободные пространства в определенном городе и представить их в виде городской площади.

В обычный день Вестлейк-парк в Сиэтле – это общественное место, переполненное туристами, покупателями и пассажирами, выходящими из станции метро*, расположенной рядом с парком. Это целое скопище автобусов, такси и частных автомобилей, медленно пробирающихся вдоль улицы, которая проходит через самый центр площади. Этот треугольный участок, который часто называют «городской площадью Сиэтла», используется для политических митингов, уличных концертов и других публичных мероприятий и праздников. Несмотря на свое идеальное местоположение, парк не используется в полной мере всеми теми людьми, которые проходят мимо него каждый день. Здесь немного возможностей для пешеходов, ни следа зелени, а преступления здесь совершаются с завидной регулярностью. А ведь этот простаивающий акр земли мог бы быть куда полезнее. Настало время сделать его таким.

По данным ООН, к 2050 году почти 70% всех жителей Земли будут жить в городах. А как городские власти создают и приспосабливают публичные пространства на благо общества? Ведь потребность в создании особенных, неформальных зон, где горожане могли бы собираться, отдыхать и делиться своими мыслями, сейчас важна как никогда. Так что давайте взглянем на Вестлейк-парк по-новому.

Вестлейк-парк находится на самом въезде в центральную часть Сиэтла. Здесь, в одной точке, на трех разных уровнях сходятся сразу четыре вида общественного транспорта, собирая и распределяя пассажиров, ежедневно приезжающих в город и покидающих его. Так что формально этот участок земли площадью один акр на углу Четвертой авеню и Пайн-стрит является транспортным узлом, хотя вход в метро и не бросается в глаза. Здешние полицейские в среднем почти по 100 раз в день показывают прохожим, как туда попасть. Но потенциал этого места как транспортного и общественного центра Сиэтла не ниже, чем у похожих мест в других крупных городах по всему миру. Узкое горлышко Сиэтла, ограниченное с запада водой, а с востока - крутыми склонами, просто не выдержит ожидаемого роста населения и количества рабочих мест. Поэтому поиск альтернативных путей развития пассажирских перевозок становится все более актуальным. Идея специалистов компании Gensler состоит в том, чтобы соединить существующую транспортную систему с наилучшими качествами Вестлейк-парка как общественного места, и тем самым передать городскую площадь в пользование пассажирам.

Городская планировка разделяет город на отсеки в соответствии с деятельностью, которую осуществляет человек. Она, в свою очередь, определяется харакетристиками того или иного места, способом организации пространства и стилем. Так, есть места для работы и отдыха, обучения и развлечений, но эта организационная структура просто перестает работать для того единого и в то же время многообразного мира, в котором мы живем. Транспортные узлы, к примеру, представляют собой места, где люди надолго не задерживаются, хотя эта важная часть городской инфраструктуры могла бы быть более благоустроенной и играть куда более важную роль, причем не только для пассажиров, но и для всего общества. Что если транспортный узел стал бы своеобразным фундаментом, основой, на которой бы строилось общение людей в социуме? Тогда бы он использовался обществом как некое связующее звено в социальном смысле.

Наша стратегия состоит в том, чтобы дать больше возможностей людям для встреч и общения, а также физически соединить различные виды общественного транспорта в один центральный узел, создав при этом на площади оживленное публичное место. Мы предложили углубить существующую площадь, а также убрать участок проезжей улицы, таким образом соединив между собой метро, эстакаду и земную поверхность. Это сделает видимым всё движение общественного транспорта и при этом позволит свету и воздуху проникать на площадь, что необходимо для розничной торговли. Такой подход также улучшит условия для движения пешеходов, которым сегодня приходится переходить проезжую часть. Новая панорама площади повысит возможности для визуального контакта, в частности позволит людям более легко находить друг друга, а также наслаждаться видами города. Отдавая должное изначальному облику участка, мы воспроизведем существующий узор плитки, символизирующий индейскую плетеную корзину, в планировке мест для сидения. Новый трехмерный рельеф объединит различные новые участки площади и создаст для пешеходов уникальное пространственное ощущение. Озеленение с использованием традиционных для северо-запада США пород деревьев страны даст возможность людям отдохнуть от городской суеты.

Представьте себе картину Вестлейк-парка: травяные террасы, заполненные в обеденные часы офисными сотрудниками; родители, играющие с детьми; пассажиры, пересекающие площадь и легко находящие путь к своему поезду или автобусу; покупатели, останавливающихся передохнуть в тени елей и насладиться видами города. Сегодняшний бетонный треугольник обладает всем необходимым для того, чтобы стать более безопасным и превратиться в оживленную городскую площадь, любимую как местными жителями, так и приезжими.

«Метро-туннель» Сиэтла (Metro Tunnel) – это уникальная подземная линия, используемая одновременно автобусами и поездами легкой рельсовой системы

Спасибо за перевод Востоковой Екатерине. Редактор — Иван Володин

Источник

city4people.ru

Проект «Площади многоугольников»

Проект « Площади многоугольников» Автор проекта: учитель математики Верхнеиндырчинской основной школы Апастовского муниципального района Республики Татарстан Курмашева А.А. Участники проекта : учащиеся 8 класса Дидактические цели проекта: 1.Расширить знания учащихся о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

2.Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

3.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются
  • формирование у учащихся понятия площади многоугольников;
  • развитие исследовательских навыков;
  • развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;
  • формирование навыков проектной работы.

Прогнозируемые результаты

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

  • знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;
  • продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;
  • знать сведения вычисления площадей в древности;
  • получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;
  • самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Гипотеза В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников : квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий. Изучение площадей плоских фигур вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции и их площадей, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

Рабочие группы и вопросы для исследования

Группа «Исследователи свойств многоугольников»

  1. Изучить свойства треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции.
  2. Найти определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, которые были сформулированы древними учёными.
  3. Сравнить современные трактовки с древними.

Группа «Исследователи площадей многоугольников» Изучить доказательства площадей треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции Группа «Историки» Найти информацию о нахождении площадей древними учёными. Группа « Практики» 1. Найти материал, подтверждающий применение площадей в архитектуре и строительстве.

2.Найти материал, подтверждающий применение площадей в географии.

Во время отчетов рабочих групп учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работе каждой группы.

Отчётные материалы 1.Создание презентации (слайды, рисунки)

2. Подготовка сообщений. Описание проекта. Проект посвящён свойствам и площадям треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции. В проекте участвовало 4 рабочих групп:

  • Исследователи свойств многоугольников
  • Исследователи площадей многоугольников
- Историки

- Практики

Первая группа исследователей свойств многоугольников изучала определения и свойства треугольника, квадрата, прямоугольника и выяснила следующее:

В учебнике « Геометрия 7-11» , автор Погорелов А.В.дано определение треугольника «Треугольником называется фигура , которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки». Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

 

Замечательные линии и точки в треугольнике.

 

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника ( точка O, рис.26 ) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника ( точка O, рис.27 ) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

   

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника ( AD, BE, CF, рис.28 ) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника ( AD, BE, CF, рис.29 ) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему.

Параллелограмм ( ABCD, рис.32 ) – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

 

Любые две противоположные стороны параллелограмма называются его основаниями, а расстояние между ними – высотой  ( BE,  ).

 

Свойства параллелограмма.

 

1.  Противоположные стороны параллелограмма равны ( AB = CD, AD = BC ).

 

2.  Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D ).

 

3.  Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам  ( AO = OC, BO = OD ).

 

4.  Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:

                                AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD² .

 

Признаки параллелограмма.

 

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

 

 1.  Противоположные стороны попарно равны ( AB = CD, AD = BC ).

   

 2.  Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D ).

   

 3.  Две противоположные стороны равны и параллельны ( AB = CD, AB || CD ).

 

 4.  Диагонали делятся в точке их пересечения пополам  ( AO = OC, BO = OD ).

 

Прямоугольник.

 

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые . Такой параллелограмм называется прямоугольником  ( рис.33 ) .

 

 

Основные свойства прямоугольника.

 

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

 

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

 

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон ( см. выше теорему Пифагора ):

 

AC 2  = AD 2 + DC 2  .

 

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом .

 

 

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ( AC BD ) и делят их углы пополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д. ).

 

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба одновременно;  поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

 

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны .

 

 

Здесь AD || BC.  Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие ( AB и CD ) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями ( BM ) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E  и  F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им:  EF || AD  и  EF || BC.

 

Трапеция с равными боковыми сторонами ( AB = CD ) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C ).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Группа исследователей площадей плоских фигур выяснила

 

 

Произвольный треугольник.  a, b, c – стороны;  a – основание;  h – высота; 

A, B, C – углы, противоположные сторонам  a, b, c ;    p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Однако данные определения существовали не всегда. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить). Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача - измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат, сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры.

Египет.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения

нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Греция.

Около 600 года до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.

Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного

рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Группа историков разыскала

Задачи царицы Дидоны

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами “на экстремум” (от лат. слова extremum – “крайний”) или задачами “на максимум и минимум” (от латинских maximum и minimum –соответственно “наибольшее” и “наименьшее”). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: “Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?”. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге “Начал” Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна , а площадь квадрата и , если . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что:

1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.

Изопериметрические задачи известны также под названием “задачи Дидоны” по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу морю, то на языке математике задачу, стоящую перед Дидоной можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей.

Группа историков обнаружила головоломки « Танграм»

История головоломки "Танграм"

Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

Рисунки, составленные из частей танграма

Рисунки, составленные из частей Колумбова яйца

4. Головоломка Наполеона

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще?

Но прежде чем браться за решение головоломки, обратите внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?

Всё вышеизложенное говорит о том, площади многоугольников интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни.

Группа «практиков» выяснила следующее.

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

Уместно будет высказывание выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

Рис.

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

Строительное производство сегодня — это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных — раскрой пиломатериалов, на фуговальных — строгание, на долбежных и шипорезных — выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок.

Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола , стены , крыши. Группа практиков выяснила следующее, что в геодезии- науке об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет также применяются знания геометрии . Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теорией потенциала, математической статистикой и вычислительной математикой. В то же время это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов.

Геодезические работы ведутся на трех уровнях. Во-первых, это плановая съемка на местности – определение положения точек на земной поверхности относительно местных опорных пунктов для составления топографических карт, используемых, например, при строительстве плотин и дорог или составлении земельного кадастра. Следующий уровень включает проведение съемок в масштабах всей страны; при этом площадь и форма поверхности определяются по отношению к глобальной опорной сети с учетом кривизны земной поверхности.

ВЫВОД.

Во время подготовки к проекту каждой группе пришлось выполнять свою работу . Каждый из них получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, геодезии, архитектуры. Все приобретённые знания помогут стать более образованными и интересными людьми.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

6. Используемая литература.

1. «Геометрия 7 - 9 класс». Авторы –Л.С. Атанасян и др.

2. «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко.

3. «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко.

4. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова

5. «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман.

6. «История математики в школе.VII- VIII классы».Автор- Г.И. Глейзер.

7. «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров , И.П. Ярандай.

8. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров и др.

Этапы, описание выполняемых работ.

Сроки Этапы Деятельность учащихся Деятельность учителя
18.11.2006-22.11.2006 I. Организационно - подготовительный Обсуждение темы проекта, его целей и задач; разработка плана реализации идеи; распределение тем исследований между учащимися Представление проблемной ситуации с помощью мультимедийных средств; формирование мотивации участников, создание инициативной группы учащихся, консультирование по выбору тематики и жанра проекта; помощь в подборке необходимых материалов, определение лишь общего направления и главных ориентиров поиска; определение критериев оценки деятельности учащихся на всех этапах
23.11.2006-7.12.2006 II.Поисковый Сбор, анализ и систематизация необходимой информации; обсуждение ее в микрогруппах; выдвижение и проверка гипотез; оформление макета или модели проекта; самоконтроль Регулярное консультирование по содержанию проекта, помощь в систематизации и обобщении материалов, индивидуальные и групповые консультации по правилам оформления проекта, стимулирование умственной активности учащихся, отслеживание деятельности каждого участника, оценка промежуточных результатов, мониторинг совместной деятельности
8.12.2006-18.12.2006 III. Итоговый Оформление пакета документов по проекту и информационных стендов, схем, диаграмм; подготовка устной презентации и защита содержания проекта; рефлексия: выдвижение, прогнозирование новых проблем, вытекающих из полученных результатов Помощь в разработке отчёта о работе, подготовка выступающих к устной защите, отработка умения отвечать на вопросы оппонентов и слушателей, выступление в качестве эксперта на защите проекта, участие в анализе проделанной работы, оценка вклада каждого из исполнителей
Схема организации работы по проекту. Этапы реализации.

I.  Подготовительный - «Мозговой штурм».

Подготовительный этап:

Представление проблемной ситуации с помощью мультимедийных средств.

Распределение по группам.

Выбор темы исследования учащимися.

Выбор творческого названия проекта.

Основной этап:

Выбор творческого названия проекта.

Разработка целей и задач.

Обсуждение с учащимися возможных источников информации, критериев оценки результата исследования.

Обсуждение предстоящих исследований

Заключительный этап:

Обсуждение индивидуальных планов работы учащихся.

Обсуждение необходимого оборудования.

II. Основной - «Консультация в группах».

Подготовительный этап:

Сбор, анализ и систематизация необходимой информации.

Советы педагога по усовершенствованию работы.

Консультации по сбору и обработки материала.

Основной этап:

Разрешение проблем, возникших в ходе самостоятельной работы.

Выдвижение и проверка гипотез.

Оценка промежуточных результатов.

Мониторинг совместной деятельности.

Заключительный этап:

Оформление макета или модели проекта.

III.Заключительный - «Конференция».

Подготовительный этап.

Подготовка оборудования к показу работ.

Подготовка сценария проведения дискуссии.

Подготовка устной презентации и защита содержания проекта.

Основной этап:

Демонстрация творческих разработок учащихся по группам.

Защита содержания проекта.

Обсуждение, оценка актуальности.

Заключительный этап:

Оценка результатов деятельности учащимися, одноклассниками, учителем.

рефлексия: выдвижение, прогнозирование новых проблем, вытекающих из полученных результатов.

ГОУ гимназия № 1567

Автор проекта: Купраш Анна Дмитриевна

Руководитель проекта:

учитель математики

Такуш Елена Валентиновна Тема: «Площади многоугольников». Цель проекта: Изучение площадей фигур. используя идею равновеликости. Задачи:

  • Проанализировать литературу и обобщить информацию по данной теме.
  • Найти нетрадиционные доказательства теорем о площадях треугольников.
  • Применить теорию равновеликости фигур для решения задач.

Работа состоит из трех частей.

В первой части работы были выведены формулы площадей некоторых многоугольников, при этом были использованы только идея равновеликости фигур и основные свойства площадей:

1) Равные многоугольники имеют равные площади;

2) Если многоугольник составлен из двух многоугольников, не имеющих внутренних точек, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна 1 (единице измерения площадей).

Во второй части работы были решены задачи о площадях с использованием тех же свойств площадей.

В третьей части работы были исследованы положения прямых, разбивающих фигуры на две равновеликие части.

В работе были рассмотрены такие задачи, как:

  • На стороне параллелограмма была взята точка, была рассмотрена зависимость площади получившегося треугольника от площади параллелограмма. Также была решена аналогичная задача для точки, лежащей внутри параллелограмма;
  • Исследование площадей параллелограммов с парой сторон, лежащих на параллельных прямых;
  • Применение свойства медиан для решения задач;
  • Задачи о разрезании фигур на две равновеликие части.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала на уроках геометрии для расширения геометрического кругозора учащихся.

migha.ru