Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Биномиальное распределение — StatsDirect

Расположение меню: Analysis_Distributions_Binomial .

Биномиальное распределение происходит, когда есть только два взаимоисключающих возможных результата, например, результат подбрасывания монеты орел или решка. Обычно один исход называют «успехом», а другой — «неудачей».

Если монета подбрасывается n раз, то можно использовать биномиальное распределение для определения вероятности P (r) ровно r успехов:

Здесь p — вероятность успеха в каждом испытании, во многих ситуациях это будет 0.5, например, вероятность выпадения монеты орлом составляет 50: 50 / равно / p = 0,5. Предположения вышеупомянутого расчета заключаются в том, что n событий являются взаимоисключающими, независимыми и случайным образом выбираются из биномиальной совокупности. Обратите внимание, что ! факториал и 0! равно 1, поскольку любое значение в степени 0 равно 1.

Во многих ситуациях вероятность интереса связана не с точно r успехами, а с вероятностью r или более (≥r) или не более r (≤r) успехов.Здесь рассчитывается кумулятивная вероятность:

Среднее значение биномиального распределения равно p, а его стандартное отклонение — sqr (p (1-p) / n). Форма биномиального распределения симметрична, когда p = 0,5 или когда n велико.

Когда n велико, а p близко к 0,5, биномиальное распределение может быть аппроксимировано стандартным нормальным распределением; это частный случай центральной предельной теоремы:

Обратите внимание, что доверительные интервалы для биномиальных пропорций с p = 0.5 даны со знаком проверки.

Техническая проверка

StatsDirect вычисляет вероятность ровно для r и кумулятивные вероятности для (≥, ≤) r успехов в n испытаниях. Гамма-функция — это обобщенная факториальная функция, которая используется для вычисления каждой биномиальной вероятности. Основной алгоритм вычисляет логарифм гамма-функции (Cody and Hillstrom, 1967; Abramowitz and Stegun, 1972; Macleod, 1989) с точностью до 64 бит.

Γ (*) — гамма-функция:

Γ (1) = 1

Г (х + 1) = х Г (х)

Г (п) = (п-1)!

Определение биномиального распределения

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, которое суммирует вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Основные допущения биномиального распределения заключаются в том, что существует только один результат для каждого испытания, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.

Ключевые выводы

• Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, которое суммирует вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.
• Основные допущения биномиального распределения заключаются в том, что существует только один результат для каждого испытания, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.
• Биномиальное распределение — это обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение.

Понимание биномиального распределения

Биномиальное распределение — это обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение. Это связано с тем, что биномиальное распределение учитывает только два состояния, обычно представленных как 1 (для успеха) или 0 (для отказа) с учетом количества попыток в данных.Таким образом, биномиальное распределение представляет собой вероятность для x успехов в n испытаниях, учитывая вероятность успеха p для каждого испытания.

Биномиальное распределение суммирует количество испытаний или наблюдений, когда каждое испытание имеет одинаковую вероятность достижения одного конкретного значения. Биномиальное распределение определяет вероятность наблюдения определенного количества успешных результатов в указанном количестве испытаний.

Биномиальное распределение часто используется в статистике социальных наук в качестве строительного блока для моделей дихотомических переменных результата, например, победит ли республиканец или демократ на предстоящих выборах или умрет ли человек в течение определенного периода времени и т. Д.

Анализ биномиального распределения

Ожидаемое значение или среднее значение биномиального распределения вычисляется путем умножения количества испытаний (n) на вероятность успеха (p) или n x p.

Например, ожидаемое значение количества голов в 100 испытаниях «Голов и сказок» равно 50 или (100 * 0,5). Другой распространенный пример биномиального распределения — это оценка шансов на успех для игрока, выполняющего штрафной бросок, в баскетболе, где 1 = попадание корзины и 0 = промах.

Формула биномиального распределения рассчитывается как:

P _{(x: n, p)} = _n C _x x p ^x (1-p) ^n-x

куда:

• n — количество испытаний (повторений)
• X — количество успешных испытаний
• p — вероятность успеха в одном испытании
• nCx — это комбинация n и x. Комбинация — это количество способов выбрать выборку из x элементов из набора из n различных объектов, где порядок не имеет значения, а замены не допускаются.Обратите внимание, что nCx = n! / (R! (N − r)!), Где! факториально (так, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

Среднее значение биномиального распределения равно np, а дисперсия биномиального распределения равна np (1 — p). Когда p = 0,5, распределение симметрично относительно среднего. Когда p> 0,5, распределение смещено влево. Когда p <0,5, распределение смещено вправо.

Биномиальное распределение — это сумма серии нескольких независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли.В испытании Бернулли эксперимент считается случайным и может иметь только два возможных результата: успех или неудача.

Например, подбрасывание монеты считается испытанием Бернулли; каждое испытание может принимать только одно из двух значений (орел или решка), каждый успех имеет одинаковую вероятность (вероятность перевернуть голову равна 0,5), а результаты одного испытания не влияют на результаты другого. Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения, когда количество испытаний n = 1.

Пример биномиального распределения

Биномиальное распределение рассчитывается путем умножения вероятности успеха, возведенной в степень числа успехов, и вероятности неудачи, возведенной в степень разницы между количеством успешных результатов и количеством попыток. Затем умножьте произведение на комбинацию количества попыток и количества успешных попыток.

Например, предположим, что казино создало новую игру, в которой участники могут делать ставки на количество орлов или решек в указанном количестве подбрасываний монеты.(20-6). Следовательно, вероятность выпадения ровно шести орлов при 20 подбрасывании монеты составляет 0,037, или 3,7%. В этом случае ожидаемое значение было 10 орлов, поэтому участник сделал плохую ставку.

Биномиальное распределение

Подбрасывание монеты:

• Получили ли мы головы (H) или
• Хвосты (Т)

Мы говорим, что вероятность выпадения монеты H составляет ½
И вероятность выпадения монеты T составляет ½

Бросок кубика:

• Мы получили четверку…?
• … или нет?

Мы говорим, что вероятность четырех равна 1/6 (одна из шести граней равна четверке)
И вероятность того, что не четыре , составляет 5/6 (пять из шести граней не являются четверкой)

Обратите внимание, что матрица имеет 6 сторон, но здесь мы рассмотрим только два корпуса : «четыре: да» или «четыре: нет»

Подбросим монетку!

Подбросьте справедливую монету трижды … каков шанс получить две головы ?

Подбрасывание монеты три раза ( H для орла, T для решки) может получить любой из этих 8 результатов :

Какие результаты мы хотим?

«Две головы» могут быть в любом порядке: «HHT», «THH» и «HTH» имеют две головы (и один хвост).

Итак, 3 результата дают «Две головы».

Какова вероятность каждого исхода?

Каждый исход одинаково вероятен, а их 8, поэтому каждый исход имеет вероятность 1/8

Таким образом, вероятность события «Две головы» составляет:

Таким образом, шанс получить две головы составляет 3/8

Мы использовали специальные слова:

• Результат : любой результат трех подбрасываний монеты (8 различных возможностей)
• Событие : «Две головы» из трех подбрасываний монеты (3 исхода имеют это)

3 головы, 2 головы, 1 голова, нет

Расчеты (P означает «Вероятность»):

• P (три головки) = P ( HHH ) = 1/8
• P (две головки) = P ( HHT ) + P ( HTH ) + P ( THH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (одна головка) = P ( HTT ) + P ( THT ) + P ( TTH ) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P (нулевой напор) = P ( TTT ) = 1/8

Мы можем записать это в терминах случайной переменной, X, = «Количество голов при 3 подбрасывании монеты»:

• P (X = 3) = 1/8
• P (X = 2) = 3/8
• P (X = 1) = 3/8
• P (X = 0) = 1/8

А вот как это выглядит в виде графика:

Он симметричен!

Создание формулы

А теперь представьте, что нам нужны шансы на 90 469 5 орлов за 9 бросков 90 470: перечисление всех 512 исходов займет много времени!

Итак, давайте составим формулу.

В нашем предыдущем примере, как мы можем получить значения 1, 3, 3 и 1?

Что ж, они действительно находятся в Треугольнике Паскаля!

Можем ли мы сделать их по формуле?

Конечно, можем, и вот он:

Его часто называют «n choose k»

• n = общее количество
• k = число, которое мы хотим
• знак «!» означает «факториал», например 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Подробнее … об этом в Комбинации и Перестановки.

Попробуем:

Пример: при 3 бросках, каковы шансы на 2 решки?

У нас n = 3 и k = 2 :

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

Итак, есть 3 исхода с «2 головами»

(Мы это уже знали, но теперь у нас есть формула.)

Давайте ответим на более сложный вопрос:

Пример: при 9 бросках, каковы шансы на 5 бросков?

У нас n = 9 и k = 5 :

н! к! (Н-к)! = 9! 5! (9-5)!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1

= 126

Значит, у 126 исходов будет 5 голов

А для 9 бросков всего 2 ⁹ = 512 исходов, поэтому получаем вероятность:

Итак:

P (X = 5) = 126 512 = 0.24609375

Примерно с вероятностью 25% .

(Легче, чем перечислить их все.)

Смещение!

Пока шансы на успех или неудачу равнялись , равно как и .

Но что, если монеты смещены (больше на одну сторону, чем на другую) или выбор не равен 50/50.

Пример: вы продаете бутерброды. 70% выбирают курицу, остальные выбирают что-то другое.

Какова вероятность продать 2 бутерброда с курицей следующим 3 покупателям?

Это похоже на пример орла и решки, но с 70/30 вместо 50/50.

Нарисуем древовидную диаграмму:

Ящики «Две курицы» выделены.

Вероятности для «двух цыплят» равны 0,147 , потому что мы умножаем два 0,7 и один 0,3 в каждом случае. Другими словами

0,147 = 0,7 × 0,7 × 0,3

Или, используя экспоненты:

= 0,7 ² × 0,3 ¹

0,7 — это вероятность каждого выбора, который мы хотим, назовем его p

2 — это количество вариантов, которое мы хотим, назовем его k

А у нас (пока):

= p ^k × 0.3 ¹

0,3 — вероятность противоположного выбора, так что это: 1 − p

1 — это количество противоположных вариантов, так что это: n − k

Что дает нам:

= p ^k (1-p) ^(n-k)

Где

• p — вероятность каждого выбора, который мы хотим
• k — желаемое количество вариантов
• n — общее количество вариантов

Пример: (продолжение)

• р = 0.7 (шанс курицы)
• k = 2 (выбор курицы)
• n = 3 (всего вариантов)

Получаем:

p ^k (1-p) ^(n-k) = 0,7 ² (1-0,7) ^(3-2)

= 0,7 ² (0,3) ⁽¹⁾

= 0,7 × 0,7 × 0,3

= 0,147

, что у нас было раньше, но теперь используется формула

Теперь мы знаем, что вероятность каждого исхода равна 0,147

Но мы должны включить, что существует три таких способов: (курица, курица, другое) или (курица, другое, курица) или (другое, курица, курица)

Пример: (продолжение)

Общее количество исходов «два цыпленка»:

н! к! (Н-к)! = 3! 2! (3-2)!

= 3 × 2 × 1 2 × 1 × 1

= 3

И получаем:

Таким образом, вероятность события «2 человека из 3 выбирают курицу» = 0,441

ОК. Это был большой труд для того, что мы уже знали, но теперь у нас есть формула, которую мы можем использовать для более сложных вопросов.

Пример: Сэм говорит: «70% выбирают курицу, поэтому 7 из следующих 10 клиентов должны выбрать курицу» … каковы шансы, что Сэм прав?

Итак имеем:

И получаем:

п ^к (1-р) ^(н-к) = 0.7 ⁷ (1-0,7) ^(10-7)

= 0,7 ⁷ (0,3) ⁽³⁾

= 0,0022235661

Это вероятность каждого исхода.

И общее количество этих исходов:

н! к! (Н-к)! = 10! 7! (10-7)!

= 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1

= 10 × 9 × 8 3 × 2 × 1

= 120

И получаем:

Таким образом, вероятность того, что 7 из 10 выберут курицу, составляет всего около 27%

Мораль истории: даже при том, что долгосрочное среднее значение составляет 70%, не ожидайте 7 из следующих 10.

Собираем вместе

Теперь мы знаем, как вычислить , сколько :

н! к! (Н-к)!

И вероятность каждого :

п ^к (1-р) ^(н-к)

При умножении получаем:

Вероятность k из n способов:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Общая формула биномиальной вероятности

Важные примечания:

• Испытания независимые,
• В каждом испытании есть только два возможных исхода,
• Вероятность «успеха» в каждом испытании постоянна.

Quincunx

Поиграйте с Quincunx (затем прочтите Quincunx Explained), чтобы увидеть биномиальное распределение в действии.

Брось кубик

Честный кубик бросается четыре раза. Рассчитайте вероятности получения:

• 0 Два
• 1 Два
• 2 двойки
• 3 двойки
• 4 двойки

В данном случае n = 4 , p = P (Два) = 1/6

X — это случайная переменная «Число двоек из четырех бросков».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Вот так (до 4 знаков после запятой):

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × (1/6) ⁰ (5/6) ⁴ = 1 × 1 × (5/6) ⁴ = 0,4823
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × (1/6) ¹ (5/6) ³ = 4 × (1/6) × (5/6) ³ = 0.3858
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × (1/6) ² (5/6) ² = 6 × (1/6) ² × (5/6) ² = 0,1157
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × (1/6) ³ (5/6) ¹ = 4 × (1/6) ³ × (5/6) = 0,0154
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × (1/6) ⁴ (5/6) ⁰ = 1 × (1/6) ⁴ × 1 = 0,0008

Резюме: «для 4 бросков существует 48% вероятность отсутствия двоек, 39% вероятность 1 два, 12% вероятность 2 двоек, 1.5% шанс выпадения 3 двоек и крошечный 0,08% шанс того, что все броски будут двойками (но это все равно может случиться!) »

На этот раз график несимметричный:

Это несимметрично!

Перекошено, потому что p не равно 0,5

Спортивные мотоциклы

Ваша компания занимается производством спортивных мотоциклов. 90% проходят окончательную проверку (а 10% не проходят и требуют исправления).

Каково ожидаемое среднее значение и отклонение от 4 следующих проверок?

Сначала посчитаем все вероятности.

X — случайная переменная «Число проходов из четырех проверок».

Подставьте x = от 0 до 4 в формулу:

P (k из n) = n! к! (Н-к)! п ^к (1-р) ^(н-к)

Как это:

• P (X = 0) = 4! 0! 4! × 0,9 ⁰ 0,1 ⁴ = 1 × 1 × 0,0001 = 0,0001
• P (X = 1) = 4! 1! 3! × 0,9 ¹ 0.1 ³ = 4 × 0,9 × 0,001 = 0,0036
• P (X = 2) = 4! 2! 2! × 0,9 ² 0,1 ² = 6 × 0,81 × 0,01 = 0,0486
• P (X = 3) = 4! 3! 1! × 0,9 ³ 0,1 ¹ = 4 × 0,729 × 0,1 = 0,2916
• P (X = 4) = 4! 4! 0! × 0,9 ⁴ 0,1 ⁰ = 1 × 0,6561 × 1 = 0,6561

Резюме: «для следующих 4 байков есть крошечный 0.Вероятность отсутствия передач 01%, вероятность отсутствия пасов 0,36%, вероятность 2 передач 5%, вероятность 3 передач 29% и колоссальная вероятность 66%, что все они пройдут проверку «.

Среднее, дисперсия и стандартное отклонение

Давайте вычислим среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для проверок спортивных велосипедов.

Для них существуют (относительно) простые формулы. Их немного сложно доказать, но они работают!

Среднее или «ожидаемое значение»:

мк = np

Для спортивных мотоциклов:

μ = 4 × 0.9 = 3,6

Итак, можно ожидать, что 3,6 мотоцикла (из 4) пройдут техосмотр.
Действительно имеет смысл … 0,9 шанс для каждого велосипеда умножить на 4 велосипеда равняется 3,6

Формула дисперсии:

Отклонение: σ ² = np (1-p)

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии:

σ = √ (np (1-p))

Для спортивных мотоциклов:

Разница: σ ² = 4 × 0,9 × 0,1 = 0,36

Стандартное отклонение:

σ = √ (0.36) = 0,6

Примечание: мы также можем вычислить их вручную, составив такую ​​таблицу:

Среднее значение — это Сумма (X × P (X)) :

мк = 3,6

Дисперсия составляет Сумма (X ² × P (X)) минус Среднее ² :

Разница: σ ² = 13,32 — 3,6 ² = 0,36

σ = √ (0,36) = 0,6

Сводка

: доверительный интервал

В этом уроке описывается, как построить доверительный интервал для доли выборки — p , когда размер выборки большой.

Требования к оценке

Подход, описанный в этом уроке, действителен, когда выполняются следующие условия:

• Образец достаточно большой. Как правило, образец считается «достаточно большой», если он включает не менее 10 успехов и 10 неудач.

Обратите внимание на значение второго условия. Если бы доля населения была близка к 0,5, размер выборки, необходимый для достижения не менее 10 успехов и не менее 10 неудач, вероятно, будет близок к 20.Но если бы доля населения была экстремальной (то есть близкой к 0 или 1), гораздо большая выборка вероятно, потребуется для достижения как минимум 10 успехов и 10 неудач.

Например, представьте, что вероятность успеха равна 0,1, а выборка была выбрана с использованием простых случайная выборка. В этой ситуации размер выборки, близкой к 100, может быть необходимо получить 10 успехов.

Вариабельность доли выборки

Для построения доверительный интервал для выборки пропорции нам необходимо знать изменчивость пропорция образца.Это означает, что нам нужно знать как вычислить среднеквадратичное отклонение или стандартная ошибка принадлежащий выборочное распределение.

• Предположим, что можно выбрать k возможных выборок размером n от населения. Стандартное отклонение выборочного распределения составляет «среднее» отклонение между выборкой k пропорции и истинная доля населения, P. Стандартное отклонение пропорции образца σ _p :

  σ _p = sqrt [P * (1 — P) / n] * sqrt [(N — n) / (N — 1)]

  где P — доля населения, n — размер выборки, а N — размер генеральной совокупности.Когда население размер намного больше (как минимум в 20 раз больше) образца размер, стандартное отклонение можно приблизительно определить следующим образом:

  σ _p = sqrt [P * (1 — P) / n]

• Если истинная доля населения P неизвестна, стандартное отклонение выборочного распределения не может быть рассчитано. В этих условиях используйте стандартную ошибку. Стандартная ошибка (SE) может быть рассчитана по приведенному ниже уравнению.

  SE _p = sqrt [p * (1 — p) / n] * sqrt [(N — n) / (N — 1)]

  где p — пропорция выборки, n — размер выборки, а N — размер генеральной совокупности.Когда население размер как минимум в 20 раз больше размера выборки, стандартный ошибка может быть приблизительно выражена следующим образом:

  SE _p = sqrt [p * (1 — p) / n]

Alert

Расширенная статистика размещения Экзамен охватывает только «приблизительные» формулы стандарта. отклонение и стандартная ошибка.

σ _p = sqrt [P * (1 — P) / n]

SE _p = sqrt [p * (1 — p) / n]

Однако ожидается, что студенты будут осознавать ограничения этих формул; а именно приблизительные формулы следует использовать только тогда, когда население размер как минимум в 20 раз превышает размер выборки.

Как найти доверительный интервал для пропорции

Ранее мы описали как построить доверительные интервалы. Для удобства мы повторите ключевые шаги, указанные ниже.

• Определите образец статистики. В этом случае статистика выборки — это доля выборки. Мы используем выборочную пропорцию для оценить долю населения.
• Выберите уровень достоверности. Уровень достоверности описывает неопределенность выборки метод. Часто исследователи выбирают уверенность 90%, 95% или 99%. уровни; но можно использовать любой процент.
• Найдите погрешность. Ранее мы показывали как вычислить погрешность.
• Укажите доверительный интервал. Диапазон уверенности интервал определяется статистикой выборки + Погрешность . И неопределенность обозначается по уровню уверенности.

В следующем разделе мы проработаем проблему, в которой показано, как использовать этот подход к построению доверительного интервала для пропорции.

Калькулятор размера выборки

Как вы могли заметить, четыре шага, необходимые для определения достоверности Интервал для пропорции может потребовать множества трудоемких вычислений.Stat Trek’s Калькулятор размера выборки сделает эту работу за вас — быстро, легко и безошибочный. Помимо построения доверительного интервала, калькулятор создает сводный отчет, в котором перечислены основные результаты и аналитическая документация. техники. Всякий раз, когда вам нужно построить доверительный интервал, рассмотрите с помощью калькулятора размера выборки. В калькулятор бесплатный. Его можно найти в Stat Trek. главное меню на вкладке Stat Tools. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Проверьте свое понимание

Задача 1

Крупная столичная газета выбрала простую случайную выборку 1600 читателей из их списка 100000 подписчиков.Они спросили, должна ли газета увеличивать освещение местных новостей. Сорок процентов выборки хотели, чтобы больше местных Новости. Каков доверительный интервал 99% для доли читатели, которые хотели бы больше освещать местные новости?

(A) от 0,30 до 0,50
(B) от 0,32 до 0,48
(C) от 0,35 до 0,45
(D) от 0,37 до 0,43
(E) от 0,39 до 0,41

Решение

Ответ (D). Подход, который мы использовали для решения этой проблемы проблема актуальна при соблюдении следующих условий.

• Если размер генеральной совокупности намного превышает выборку размера, мы можем использовать «приблизительную» формулу для стандартного отклонение или стандартная ошибка. Это условие выполняется, поэтому воспользуемся одной из более простых «приближенных» формул.

Поскольку вышеуказанные требования выполнены, мы можем использовать следующие четырехэтапный подход к построению доверительного интервала.

• Определите образец статистики. Поскольку мы пытаемся оценить доля населения, мы выбираем долю выборки (0.40) в качестве выборочной статистики.
• Выберите уровень достоверности. В этом анализе уровень достоверности определяется для нас в задаче. Работаем с 99% уровень уверенности.
• Найдите погрешность. В другом месте на этом сайте мы показываем как вычислить погрешность при выборке распределение примерно нормальное. Ключевые шаги: показано ниже.
  • Найдите стандартное отклонение или стандартную ошибку. Поскольку мы не знать долю населения, мы не можем вычислить среднеквадратичное отклонение; вместо этого мы вычисляем стандартную ошибка.А поскольку население более чем в 20 раз больше чем образец, мы можем использовать следующую формулу для вычисления стандартной ошибки (SE) пропорции:

    SE = sqrt [p (1 — p) / n]

    SE = sqrt [(0,4) * (0,6) / 1600] = 0,012

  • Найдите критическое значение . Критическое значение — это коэффициент, используемый для вычислить погрешность. Поскольку выборка распределение примерно нормальное и образец размер большой, мы можем выразить критическое значение как z-оценка выполнив следующие действия.
    • Вычислить альфа (α):

      α = 1 — (уровень достоверности / 100)

      α = 1 — (99/100) = 0,01

    • Найти критическую вероятность (p *):

      p * = 1 — α / 2 = 1 — 0,01 / 2 = 0,995

    • Найдите степени свободы (df):

      df = n — 1 = 1600-1 = 1599

    • Найдите критическое значение. Поскольку мы не знаем стандартного отклонения населения, мы выразим критическое значение как t-статистика. Для этой проблемы это будет t статистика, имеющая 1599 степеней свободы и кумулятивная вероятность равна 0.995. Использование t Калькулятор распределения, мы находим, что критическое значение составляет 2,58.
  • Предел погрешности вычисления (ME):

    ME = критическое значение * стандартная ошибка

    ME = 2,58 * 0,012 = 0,03

• Укажите доверительный интервал. Диапазон уверенности интервал определяется статистикой выборки + Погрешность . И неопределенность обозначается по уровню уверенности.

Следовательно, 99% доверительный интервал равен 0.37 до 0,43. То есть 99% доверительный интервал — это диапазон определяется по 0,4 + 0,03.

Биномиальное распределение

Чтобы понять биномиальное распределение и биномиальную вероятность, это помогает понимать биномиальные эксперименты и некоторые связанные с ними обозначения; так что мы сначала рассмотрите эти темы.

Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео в формате HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (например, последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеоматериал об этом уроке.

Биномиальный эксперимент

Биномиальный эксперимент представляет собой статистический эксперимент, обладающий следующими свойствами:

• Испытания независимы; то есть результат одного испытания не влияет на результат другого испытания.

Рассмотрим следующий статистический эксперимент. Вы подбрасываете монету 2 раза и считаете количество раз, когда монета выпадет орлом. Это биномиальный эксперимент потому что:

• Судебные разбирательства независимы; то есть получение голов на одном испытании не влияет получим ли мы голову на других судебных процессах.

Обозначение

Следующие обозначения полезны, когда мы говорим о биномиальной вероятности.

• _n C _r : количество комбинаций n вещей, взятых за один раз r .

Биномиальное распределение

Биномиальная случайная величина — количество успехов x в n повторных попыток биномиального эксперимента. В распределение вероятностей биномиальной случайной величины называется биномиальное распределение .

Предположим, мы подбрасываем монету два раза и подсчитываем количество орлов (успехов). В биномиальная случайная величина — это количество голов, которые могут принимать значения 0, 1 или 2. Биномиальное распределение представлено ниже.

Биномиальная вероятность относится к вероятности того, что биномиальный эксперимент дает , ровно x успехов.Например, в приведенной выше таблице мы видим, что биномиальная вероятность получить ровно один голова в двух подбрасывании монеты составляет 0,50.

Учитывая x , n и P , мы можем вычислить биномиальную вероятность на основе биномиальной формулы:

Биномиальная формула. Предположим, что бином Эксперимент состоит из n попыток и дает x успехов. Если вероятность успеха в индивидуальном испытании составляет P , тогда биномиальная вероятность:

b ( x ; n, P ) = _n C _x * P ^x * (1 — P) ^{n — x}
или
b ( x ; n, P ) = {n! / [ Икс! (п — х)! ]} * P ^x * (1 — P) ^{n — x}

Пример 1

Предположим, что кубик подброшен 5 раз.Какова вероятность получить ровно 2 четверки?

Решение: Это биномиальный эксперимент, в котором количество испытаний равно 5, количество успехов равно 2, а вероятность успех одного испытания составляет 1/6 или около 0,167. Следовательно, бином вероятность:

b (2; 5, 0,167) = ₅ C ₂ * (0,167) ² * (0,833) ³
b (2; 5, 0,167) = 0,161

Накопительное биномиальное Вероятность

Кумулятивная биномиальная вероятность относится к вероятности что биномиальная случайная величина попадает в указанный диапазон (например,грамм., больше или равно указанному нижнему пределу и меньше или равный указанному верхнему пределу).

Например, нас может интересовать кумулятивная биномиальная вероятность получение 45 или меньше орлов за 100 подбрасываний монеты (см. Пример 1 ниже). Этот будет суммой всех этих индивидуальных биномиальных вероятностей.

b (x < 45; 100, 0,5) =
b (x = 0; 100, 0,5) + b (x = 1; 100, 0,5) + … + b (x = 44; 100, 0,5) + b (x = 45; 100, 0,5)

Биномиальный калькулятор

Как вы могли заметить, биномиальная формула требует много времени. вычисления.Биномиальный калькулятор сделает эту работу за вас — быстро, легко и без ошибок. Используйте биномиальный калькулятор для вычисления бинома вероятности и кумулятивные биномиальные вероятности. В калькулятор бесплатный. Его можно найти в Stat Trek. главное меню на вкладке Stat Tools. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Пример 2

Какова вероятность выпадения 45 или меньше орлов за 100 бросков монеты?

Решение: Чтобы решить эту проблему, мы вычисляем 46 индивидуальных вероятностей, используя биномиальную формулу.Сумма всех этих вероятностей и есть ответ, который мы стремиться. Таким образом,

b (x < 45; 100, 0,5) = b (x = 0; 100, 0,5) + b (x = 1; 100, 0,5) +. . . + b (x = 45; 100, 0,5)
b (x < 45; 100, 0,5) = 0,184

Пример 3

Вероятность того, что студент будет принят в престижный колледж, составляет 0,3. Если Подают заявки 5 учеников из той же школы, какова вероятность, что не более 2 принимаются?

Решение: Чтобы решить эту проблему, мы вычисляем 3 индивидуальных вероятности, используя биномиальную формулу.Сумма всех этих вероятностей и есть ответ, который мы стремиться. Таким образом,

b (x < 2; 5, 0,3) = b (x = 0; 5, 0,3) + b (x = 1; 5, 0,3) + b (x = 2; 5, 0,3)
b (x < 2; 5, 0,3) = 0,1681 + 0,3601 + 0,3087
b (x < 2; 5, 0,3) = 0,8369

Пример 4

Какова вероятность того, что мировая серия продлится 4 игры? 5 игр? 6 игр? 7 игр? Предположим, что команды равны.

Решение: Это очень сложное применение бинома. распределение.Если вы можете следовать логике этого решения, у вас есть хорошее понимание материала, описанного в руководстве, чтобы это точка.

В мировой серии представлены две бейсбольные команды. Сериал заканчивается, когда победившая команда выигрывает 4 игры. Поэтому мы определяем успех как победа команды, которая в итоге становится чемпионом мировой серии.

Для целей этого анализа мы предполагаем, что команды равны. Следовательно, вероятность того, что определенная команда выиграет определенную игру, равна 0.5.

Давайте сначала рассмотрим простейший случай. Какова вероятность того, что сериал длится всего 4 игры. Это может произойти, если одна команда выиграет первые 4 игры. Вероятность победы команды Национальной лиги в 4 матчах в ряду:

b (4; 4, 0,5) = ₄ C ₄ * (0,5) ⁴ * (0,5) ⁰ = 0,0625

Аналогично, когда мы вычисляем вероятность команды Американской лиги выиграв 4 игры подряд, мы находим, что это тоже 0,0625. Следовательно, вероятность того, что серия закончится на четыре игры будут 0.0625 + 0,0625 = 0,125; поскольку серия закончится, если Команда Американской лиги или Национальной лиги выиграла 4 игры подряд.

Теперь давайте займемся вопросом определения вероятности того, что мировой ряд заканчивается в 5 играх. Уловка в поиске этого решения состоит в том, чтобы распознать, что серия может закончиться только в 5 играх, если одна команда выиграл 3 из первых 4 игр. Итак, давайте сначала найдем вероятность что команда Американской лиги выигрывает ровно 3 из первых 4 игр.