Вблизи поверхности Земли тело, на которое не действует результирующая вертикальная сила, отличная от собственного веса, будет равномерно ускоряться вертикально вниз. Ускорение свободного падения представлено 𝑔 и имеет величину приблизительно 9,8 м/с ² . Ускорение силы тяжести зависит от расстояния от центра масс Земли, но изменение 𝑔 с высотой мало у поверхности Земли и рассматривается как постоянное значение.

Важно различать ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли и чистое ускорение тела вблизи поверхности Земли. Тело вблизи поверхности Земли не обязательно движется вертикально вниз с ускорением 9.8 м/с

Этот объяснитель рассматривает исключительно тела, на которые действует только сила их веса, поэтому мы пренебрежем силами сопротивления, действующими на тела со стороны воздуха. Движение таких тел можно смоделировать с помощью кинематических уравнений движения с равномерным ускорением, таких как 𝑣=𝑢+𝑎𝑡,𝑣=𝑢+2𝑎𝑠,𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡, где 𝑢 — начальная скорость частицы, 𝑣 — конечная скорость частицы, 𝑎 — ускорение частицы, а 𝑠 — смещение частицы.

Рассмотрим пример свободно движущегося тела, на которое действует только его вес.

Пример 1. Определение начальной скорости частицы, брошенной вертикально вверх

Частица была брошена вертикально вверх от земли. Учитывая, что максимальная высота, на которую поднялась частица, была 62,5 м, найти скорость, с которой она была отброшена. Примите ускорение свободного падения 𝑔=9,8/мс.

Ответ

Движение частицы можно смоделировать с помощью уравнения 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.

Ускорение частицы обусловлено только силой тяжести, поэтому величина ускорения составляет 9,8 м/с ² . Ускорение направлено вертикально вниз. Частица летит вертикально вверх, поэтому ускорение силы тяжести направлено в сторону, противоположную начальной скорости частицы.

Это уравнение можно изменить так, чтобы 𝑢 стало предметом: 𝑢=𝑣+19.6(𝑠).

Частица мгновенно покоится, когда достигает максимальной высоты, поэтому в этот момент ее скорость равна нулю. Мы видим тогда, что 𝑢=0+19,6(62,5)=1225,

Извлекая положительный корень из 𝑢, получаем 𝑢=√1225=35/.ms

Отрицательным корнем пренебрегаем, так как это соответствует вертикально нисходящей скорости частицы, а частица не может изначально иметь вертикально нисходящую скорость, поскольку она проецируется вертикально вверх.

Равномерно ускоренное тело имеет непрерывно изменяющуюся скорость, но среднее значение этой скорости равно среднему значению его скоростей до и после ускорения, определяемому формулой 𝑣=𝑣+𝑢2.среднее

Рассмотрим пример определения средней скорости тела, ускоренного только силой тяжести.

Пример 2.

Если тело, упавшее со здания, достигло земли за 3 секунды, найдите его среднюю скорость в момент падения. Пусть ускорение свободного падения 𝑔=9,8/мс.

Ответ

Ускорение тела, движущегося с равномерным ускорением, равно 𝑎=𝑣−𝑢𝑡.

Это выражение можно преобразовать для определения средней скорости следующим образом: 𝑣−𝑢=𝑎𝑡𝑣=𝑢+𝑎𝑡.

Подставив известные значения 𝑡 и 𝑎 и предположив, что 𝑢 равно нулю, поскольку тело было сброшено, а не спроецировано вертикально, мы имеем, что 𝑣=9,8(3)=29,4/.мс

Средняя скорость объекта – это среднее значение его скоростей до и после ускорения, определяемое выражением 𝑣=𝑣+𝑢2.average

Мы уже видели, что 𝑢 равно нулю, поэтому имеем 𝑣=29,42=14,7/.averagems

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы определяем перемещение тела, брошенного вертикально с известной скоростью.

Пример 3. Определение максимальной высоты, на которую попадает мяч, брошенный вертикально вверх

Частица брошена вертикально вверх со скоростью 7 м/с из точки, находящейся на высоте 38,7 м над землей. Найдите максимальную высоту, на которую может подняться частица. Считайте, что ускорение свободного падения равно 𝑔=9,8/мс.

Ответ

Частица достигает максимальной высоты в тот момент, когда она мгновенно находится в покое и вот-вот начнет падать обратно к точке, из которой она была спроецирована.

В этом примере нам даны начальная скорость частицы, начальное вертикальное смещение частицы и вертикальное ускорение частицы. Скорость частицы при ее наибольшем вертикальном смещении будет мгновенно равна нулю.

Смещение частицы из точки, в которую она была спроецирована в данный момент, можно определить по формуле, содержащей эти члены; следовательно, мы можем использовать формулу 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠, где 𝑣=0/мс, 𝑢=7/мс и 𝑎=-9,8/мс. Преобразовывая уравнение, чтобы сделать 𝑠 предметом, мы получаем 𝑠=𝑣−𝑢2𝑎.

Подставляя известные значения, находим 𝑠=0−72(−9,8)=2,5.м

Начальное вертикальное смещение частицы составляло 38,7 м, поэтому наибольшее вертикальное смещение частицы определяется выражением 38,7+2,5=41,2. м

Рассмотрим еще один такой пример.

Пример 4: Использование уравнений движения для решения вертикальной проекции Вопрос

Заполните пропуск: Если тело брошено вертикально вверх со скоростью 𝑉 чтобы достичь максимальной высоты ℎ, то скорость, с которой тело должно быть отброшено, чтобы достичь высоты 4ℎ, равна .

Ответ

Частица достигает максимальной высоты в тот момент, когда она мгновенно находится в покое и вот-вот начнет падать обратно к точке, из которой она была спроецирована. Смещение частицы из точки, в которую она была спроецирована в этот момент, можно определить по формуле 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠.

Преобразуя уравнение, чтобы сделать 𝑠 субъектом, и отметив, что 𝑣 равно нулю, и что, поскольку вертикальное направление вниз считается отрицательным, 𝑢 и 𝑎 отрицательны, мы получаем 𝑠=−𝑢−2𝑔.

Числитель и знаменатель правой части выражения отрицательны, поэтому оно эквивалентно выражению 𝑠=𝑢2𝑔.

Для значения 𝑢, равного 𝑉, значение 𝑠 равно ℎ. Важно отметить, что мы не должны путать значение начальной скорости 𝑉 с символом, используемым для термина конечной скорости, 𝑣.

Используя значения 𝑉 и ℎ, мы имеем, что ℎ=𝑉2𝑔.

Нам нужно определить, как начальная скорость, обозначаемая 𝑉, соответствующая значению 𝑠, равному 4ℎ, сравнивается с начальной скоростью 𝑉.

Мы знаем, что частица, запущенная вертикально вверх со скоростью 𝑉, имеет нулевую скорость, когда ее вертикальное перемещение равно 4ℎ.

Мы можем использовать уравнение 𝑣=𝑢+2𝑎𝑠 и подставьте значения 𝑉 для начальной скорости, 𝑔 для ускорения и 4ℎ для смещения. Отметив, что 𝑣 равно нулю и что 𝑔 отрицательно, когда 𝑉 положительно, мы имеем, что 0=𝑉−2𝑔(4ℎ).

Замена ℎ=𝑉2𝑔, у нас есть это 0=𝑉−2𝑔(4)𝑉2𝑔0=𝑉−8𝑔𝑉2𝑔0=𝑉−4𝑉.

Мы можем преобразовать это выражение, чтобы получить выражение, которое относится с 𝑉 и 𝑉 : 4𝑉=𝑉.

Взяв квадратный корень из обеих частей, мы находим, что √4𝑉=𝑉2𝑉=𝑉.

Мы видим, что 𝑉 имеет вдвое большее значение, чем 𝑉.

Пример 5. Определение времени, за которое тело достигает основания башни

Тело было брошено вертикально вниз с вершины башни высотой 80 м. Учитывая, что за 1-ю секунду своего движения он прошел 35,9 м, найдите время, за которое он достиг земли, округленное до двух знаков после запятой. Пусть ускорение свободного падения 𝑔=90,8/мс.

Ответ

Ни начальная скорость тела, ни его скорость в какой-либо точке во время его движения не могут быть определены из информации, данной в вопросе, и поэтому ответ не может быть определен путем сравнения начальной и конечной скоростей тела.

Может показаться, что конечная скорость тела равна нулю, так как тело в конце концов достигает земли, но в момент, когда тело достигает земли, его мгновенная скорость не равна нулю. Если тело не отскакивает, то скорость тела вскоре после того, как оно достигнет земли, будет равна нулю, но оно не достигает земли с нулевой скоростью.