Что такое осевая и центральная симметрия?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

252.3K

Осевая и центральная симметрия — тема для перфекционистов, любителей снимков в отражении и противников заваленного горизонта. Симметрично — значит красиво? Тогда давайте разберемся, что такое симметрия с точки зрения математики.

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

На рисунках осевая симметрия: точки A и B симметричны относительно прямой a; точки R и F симметричны относительно прямой AB

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1.

Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.


2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.


3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.


4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁ C₁, симметричный треугольнику ABC.


5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

 

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.


2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.


3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.


4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

 

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.


2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.


3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.


4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A
   1 и B₁.


5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.


2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).


3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.


4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.


2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.


3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.


4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.


5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно.

Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М

1 и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

К следующей статье

127.4K

Как сокращать алгебраические дроби?

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Базовые принципы зеркального и симметричного расположения компонентов 

В процессе проектирования изделия, симметричного относительно некоторой плоскости, целесообразно создать компоненты, расположенные с одной стороны от плоскости симметрии, а компоненты, расположенные с другой стороны, получить их отражением. В КОМПАС-3D вы можете создать:

•зеркально отраженные компоненты, которые являются новыми моделями (исполнениями моделей),

•дополнительные вставки исходных компонентов, расположенные зеркально или симметрично.

Принципы зеркального и симметричного расположения компонентов подробно описаны ниже.

В качестве исходного компонента для отражения может быть выбран любой компонент модели. При выборе подсборки отраженные компоненты создаются для всех компонентов, входящих в нее.

Добавленный компонент может быть таким же, как исходный (только отраженный зеркально), или иметь отличия по сравнению с ним. Например, вам может потребоваться добавить в полученный компонент ряд конструктивных элементов (бобышки, фаски, отверстия и т.п.) или изменить свойства компонента (материал, покрытие и т.п.).

В зависимости от задач проектирования, а также от наличия у исходного компонента симметрии, вы можете использовать различные способы добавления компонента в модель. Для компонентов, не обладающих симметрией, как правило, применяется создание зеркально отраженных компонентов, для компонентов с внутренней симметрией целесообразно использовать вставку исходного компонента в зеркальном виде, а для условно симметричных компонентов — симметричную вставку исходного компонента, размещенную с учетом плоскости/центра симметрии компонента. Описание данных способов приведено ниже.

Несимметричный компонент

Если исходный компонент не обладает симметрией, как правило, выполняется зеркальное отражение исходного компонента относительно указанной плоскости симметрии. Исключение составляют случаи, когда несимметричный компонент можно считать условно симметричным, т.е. несимметричность формы компонента не влияет на его размещение и работу в требуемом положении.

В результате отражения создается компонент, зеркальный исходному. Он имеет левостороннюю СК (см. раздел Правосторонняя и левосторонняя системы координат).

Зеркальное отражение несимметричного компонента

Полученный компонент может быть новой отдельной моделью или зеркальным исполнением модели. Выбор одного из этих вариантов зависит от особенностей исходных компонентов и проектируемого изделия.

 

•Зеркальный компонент, созданный как зеркальное исполнение модели, сохраняет ассоциативную связь с исходным. Работа с таким компонентом аналогична работе с зависимым исполнением модели. Особенности зеркальных исполнений описаны в разделе Зеркальные исполнения модели.
Этот вариант предпочтителен для компонента, который должен иметь ассоциативную связь с исходным, но может в той или иной степени отличаться от него, т.е. допускает внесение изменений.

•Зеркальный компонент, созданный как отдельная модель, не имеет ассоциативной связи с исходным. В дальнейшем вы можете работать с этим компонентом так же, как с любым другим компонентом, вставленным в модель из файла. При выполнении построений в данном компоненте необходимо учитывать особенности левосторонней СК.
Данный вариант используется, если компонент должен значительно отличаться от исходного, а также в том случае, если файл исходного компонента недоступен.

Симметричный компонент

Если исходный компонент обладает симметрией, то в модель, как правило, добавляется зеркально отраженная вставка этого компонента относительно указанной плоскости симметрии. Полученный зеркальный компонент, по сути, является тем же самым исходным компонентом, только отображаемым в зеркально отраженном виде. Все изменения, произведенные в файле-источнике модели исходного компонента, применяются к зеркально отраженным вставкам так же, как и к обычным вставкам этого компонента.

Данный вариант позволяет размещать отраженные вставки компонентов без дополнительных настроек размещения. Например, вы можете использовать этот вариант для добавления в модель симметрично расположенных вставок большинства стандартных изделий.

Зеркальная вставка компонента, обладающего симметрией

Условно симметричный компонент

Симметрия компонента может быть принята условно. Если исходный компонент является условно симметричным, то в модель, как правило, добавляется симметричная вставка этого компонента относительно указанной плоскости симметрии. Положение вставки рассчитывается с учетом плоскости/центра условной симметрии исходного компонента, т. е. плоского или точечного объекта, относительно которого условно симметричны части компонента.

Симметричная вставка компонента, обладающего условной симметрией

Выбор плоскости/центра условной симметрии может выполняться автоматически или вручную. Вы можете выбрать один из вариантов, автоматически предлагаемых системой. Если данные варианты не удовлетворяют условиям проектирования, или требуется дополнительное уточнение положения компонента, используйте ручной способ указания плоскости/центра условной симметрии компонента.

В некоторых случаях может возникнуть необходимость выполнить симметричную вставку нескольких компонентов одного уровня, представляющих собой симметричную или условно симметричную конструкцию, но не объединенных в сборочную единицу. Например, необходимо добавить симметричную вставку детали с устанавливаемыми при сборке стандартными компонентами типа болтов, масленок и т.п. В этом случае настройка положения выполняется для самой детали, а положение остальных компонентов определяется относительно данной детали, которая выбирается в качестве базового компонента. Сам базовый компонент и все компоненты, для которых он является базовым, перемещаются и поворачиваются относительно исходных компонентов как одно целое.

При симметричном размещении (независимо от варианта задания положения) добавленный компонент является вставкой исходного. Новая модель при этом не создается. СК вставки повернута или смещена относительно СК исходного компонента.

Симметричное определение и значение — Merriam-Webster

симметричный sə-me-tri-kəl 

1

: имеющие, включающие или проявляющие симметрию

2

: имеющие соответствующие точки, линии которых делятся пополам данной точкой или перпендикулярно данной прямой или плоскостью

симметричные кривые

3

симметричный : такой, что термины или переменные могут быть заменены без изменения значения, характера или истинности

симметричные уравнения

R является симметричным отношением, если a R b подразумевает b R a

3 4 а

: способные делиться продольной плоскостью на одинаковые половины

симметричные части растений

б

: имеющие одинаковое число членов в каждой мутовке цветочных листьев

симметричные цветки

5

: поражающие соответствующие части одновременно и сходным образом

симметричная сыпь

6

: проявляющая симметрию в структурной формуле

особенно : является производным с симметрично замещенными группами в молекуле

симметрично

sə-me-tri-k(ə-)lē

наречие

симметричность

sə-me-tri-kəl-nəs

существительное

Примеры предложений

Человеческое тело симметрично .

Недавние примеры в Интернете Ничье лицо не симметричный . — Кристи Пина, The Hollywood Reporter , 17 марта 2023 г. Были ли мои глаза симметричны ? — Хлоя Гранде, CNN , 28 ноября 2022 г. Но эффекты не были симметричными . — Крейг Гилберт, Journal Sentinel , 21 ноября 2022 г. Лицо просто выглядит больше симметрично вот так. — Washington Post , 11 декабря 2021 г. Вместо этого новое шасси будет больше симметричного . — Крис Смит, BGR , 21 октября 2021 г. Любое сферическое распределение симметрично , поскольку любая точка на сфере будет равноудалена от центра сферы. — Ретт Аллен, 9 лет.0025 ПРОВОДНАЯ , 14 марта 2023 г. В отличие от Origin, у которого есть отдельные передняя и задняя часть, автомобиль Zoox симметричен . — Сэм Абуэльсамид, Forbes , 13 февраля 2023 г. Если сжатие топлива достаточно симметрично , реакции синтеза начинаются в центральной горячей точке и плавно распространяются наружу, при этом тепло от синтеза вызывает большее горение. — Биданиэль Клери, 9 лет.0025 science.org , 13 декабря 2022 г. Узнать больше

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «симметричный». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Первое известное использование

1653, в значении, определенном в смысле 1

Путешественник во времени

Первое известное использование симметричного было в 1653 г.

Посмотреть другие слова того же года

Словарные статьи Рядом с

симметричный

симметризм

симметричный

симметричный дифенилмочевина

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Симметричный.

» Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/smetric. По состоянию на 21 апреля 2023 г.

Copy Citation

Kids Definition

симметричный

прилагательное

симметричный sə-me-tri-kəl

: имеющие, включающие или демонстрирующие симметрию

симметрично

-tri-k(ə-)lē

наречие

Medical Definition

симметричный

прилагательное

симметричный sə-me-tri-kəl 

: имеющие, включающие или демонстрирующие симметрию: как

а

: воздействующие на соответствующие части одновременно и сходным образом

симметричная сыпь

б

: проявляющие симметрию в структурной формуле

особенно : — производное с симметрично замещенными группами в молекуле

симметрично

-tri-k(ə-)lē

наречие

Еще от Merriam-Webster о

симметричный

Тезаурус: Все синонимы и антонимы к симметричный

Английский: Перевод симметричный для говорящих на испанском языке

Последнее обновление: 10 апр 2023 — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

задумчивый

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Симметричное определение и значение | Dictionary.com

• Основные определения
• Синонимы
• Викторина
• Связанный контент
• Примеры
• Британский

Показывает уровень сложности слова.

[ si-me-tri-kuhl ]

/ sɪˈmɛ trɪ kəl /

Сохранить это слово!

См. синонимы к слову: симметрично / симметрично на Thesaurus.com

Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.

---

прилагательное

характеризуется или проявляет симметрию; стройные, как тело, так и в целом; регулярные по форме или расположению соответствующих частей.

Геометрия.

1. , отмечая две точки на плоскости, такие, что отрезок, соединяющий точки, делится пополам осью: Точки (1, 1) и (1, −1) симметричны относительно оси x.
2. , отметив множество, состоящее из пар точек, имеющих такое отношение относительно одной и той же оси.
3. , отметив две точки на плоскости, такие, что отрезок, соединяющий точки, делится пополам точкой или центром: Точки (1, 1) и (−1, −1) симметричны относительно (0, 0).
4. , отметив множество, состоящее из пар точек, имеющих такое отношение относительно одного и того же центра.

Обычно симметричный .Математика.

1. , отмечая квадратную матрицу, которая равна ее транспонированию.
2. , отмечая диаду или диаду, которая равна своему сопряженному.
3. , обозначающий отношение, в котором один элемент по отношению ко второму подразумевает второй по отношению к первому.

Ботаника.

1. делящиеся на две подобные части более чем одной плоскостью, проходящей через центр; актиноморфный.
2. (цветка), имеющий одинаковое количество частей в каждой мутовке.

Химия.

1. со структурой, которая имеет регулярно повторяющийся рисунок составных частей.
2. с указанием производного бензола, в котором произошли три замены у чередующихся атомов углерода.

одновременно поражающие соответствующие органы, как при некоторых заболеваниях.

ДРУГИЕ СЛОВА ДЛЯ симметричного

1 уравновешенный, упорядоченный, правильный, конгруэнтный.

См. синонимы слова «симметричный» на Thesaurus.com

КОНТРОЛЬ

МОЖЕТЕ ЛИ ВЫ ОТВЕЧАТЬ НА ЭТИ ОБЩИЕ ГРАММАТИЧЕСКИЕ ДИСКУССИИ?

Есть грамматические дебаты, которые никогда не умирают; и те, которые выделены в вопросах этой викторины, наверняка снова всех разозлят. Знаете ли вы, как отвечать на вопросы, которые вызывают самые ожесточенные споры по грамматике?

Вопрос 1 из 7

Какое предложение верно?

Также симметричный [si-me-trik] /sɪˈmɛ trɪk/ .

Происхождение симметричных

Впервые отмечено в 1745–1755 гг.; symmetr(y) + -ical

ДРУГИЕ СЛОВА, ОТНОСИТЕЛЬНО симметричный

·рихический, прилагательное

несимметричный·метрический·ли, наречие

Слова рядом симметричный

Symmachus, symmetalism, symmetallism, Symmetrel, симметричный, симметричный, симметричная разность, симметричная функция, симметричная группа, симметричный матрица, симметрировать

Dictionary.com Полный текст На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2023

Слова, относящиеся к слову симметричный

сбалансированный, соизмеримый, соизмеримый, равный, пропорциональный, пропорциональный, правильный, стройный, хорошо сформированный

Как использовать симметричный в Предложение

• В автомобиле имеется четырехместная симметричная конфигурация сидений лицом к лицу, похожая на ту, с которой может столкнуться путешественник в поезде.

  Потрясающие технические истории этой недели со всего Интернета (до 19 декабря)|Сотрудники Singularity Hub|19 декабря 2020 г. |Singularity Hub 

• В этой работе Ле Корбюзье разработал свою концепцию города как симметричного, регулируемого и высокоцентрализованного ландшафта.

  Города будущего: новые вызовы означают, что нам нужно переосмыслить внешний вид городских ландшафтов|Ник Данн|18 декабря 2020 г.|Singularity Hub 

• ORC слишком симметричны, и мы не видим кластера в их центре.

  Эти призрачные круги в небе возникли из ниоткуда|Рэй Норрис/The Conversation|4 декабря 2020 г.|Popular-Science

• Обычно для симметричных гигабитных скоростей требуется оптоволокно до дома.

  Comcast сообщает, что гигабитные загрузки и выгрузки теперь возможны по кабелю|Джон Бродкин|8 октября 2020 г.|Ars Technica дно как у более дешевой 4а.

  Google Pixel 5 имеет металлическую заднюю панель, беспроводную зарядку и стоит 699 долларов|Рон Амадео|30 сентября 2020 г.|Ars Technica

• Шарпу требуется четыре часа, чтобы войти в роль: «Я получаю удовольствие от математической, симметричной точности и совершенства Баха».

  Британец, штурмовавший Бродвей|Тим Тиман|7 декабря 2014|DAILY BEAST

• У него парящая симметричная грация птичьего размаха крыльев.

  Самая красивая лодка в мире — ваша за полмиллиарда долларов|Тим Тиман|19 октября 2014 г.|DAILY BEAST

• Это означает тщательное изучение фотографий на предмет таких востребованных черт, как рост и симметричное лицо.

  Майнинг Instagram для моделей|Джастин Джонс|15 августа 2014 г.|DAILY BEAST

• Да, у Израиля есть ядерное оружие, и эта технология защитила Израиль от симметричной атаки.

  Памятка Биби Нетаньяху: пришло время создать арсенал восхищения|Ллойд Грин|2 декабря 2013 г.|DAILY BEAST

• Все они красивы и сексуальны по общепринятым стандартам (подтянутые, стройные, но стройные, большие глаза, симметричные черты).

  Отказаться от мистера Совершенства?|Лизель Шиллингер|1 февраля 2010 г.|DAILY BEAST

• Каждая деталь настолько удивительно симметрична, что никто не кажется карликом, никто не требует особого внимания.

  Взгляд на Европу|Гораций Грили

• Каждый раз, когда он одевается или видит, как одевается его мать, он получает наглядный урок симметричного расположения.

  Children’s Ways|Джеймс Салли

• Эти пласты горных пород настолько прямые и симметричные, что напоминают серию дымоходов, что предполагает их название.

  Священное наследие: жизнь Вирджинии|Дороти М. Торпи

• Хотя это одна из самых маленьких из этих великих английских церквей, во многих отношениях она является одной из самых симметричных и красивых.

  Британские автомагистрали и переулки из легкового автомобиля|Томас Д. Мерфи

• Нерегулярность в том, что должно быть правильным, отсутствие формы в том, что должно быть симметричным — что может быть более нелогичным и раздражающим?

  Шарль Бодлер, его жизнь|Тофиль Готье

Британский словарь определений слова симметричный

симметричный

/ (sɪˈmɛtrɪkəl) /

---

прилагательное

обладающий или отображающий симметрию 30 math 90 асимметричный 900

1. (из двух точек), которые можно соединить линией, делится пополам данной точкой или делится пополам перпендикулярно данной линией или плоскостьюточки (x, y) и (-x, -y) симметричны относительно начала координат
2. (конфигурации) имеющие пары точек, которые симметричны относительно данной точка, линия или плоскость, окружность симметрична относительно диаметра
3. (уравнения или функции двух или более переменных), остающееся неизменным по форме после замены двух переменных x + y = z, представляет собой симметричное уравнение

chem (соединения), имеющее молекулярную структуру, в которой заместители симметричны о молекуле

ботаника другое слово для изомерного

Также: симметричный (болезни, инфекции и т.